Abstrakte Geometrie. Untersuchungen über die Grundlagen der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie. (Q2587822)

Im Vergleiche zur 1. Auflage (1905; vgl. F.~d.~M. 36, 518-520) ist die im Rahmen der ``Beihefte'' der ``Deutschen Mathematik'' erschienene 2. Auflage hauptsächlich durch gewisse Verbesserungen und Zusätze unterschieden. -Unter den verschiedenen Grundlegungen der Geometrie nimmt \textit{Vahlen}s Werk schon äußerlich eine besondere Stellung dadurch ein, daß die \textit{Theorie der Zahl- bzw. Größensysteme} an die Spitze gestellt wird, nicht allein deswegen, weil solche zur Führung von Beweisen der Unabhängigkeit einzelner Axiome von gewissen Axiomgruppen durch Konstruktion von sogenannten ``\textit{arithmetischen Geometrien}'' oder ``\textit{Ausfallgeometrien}'' häufig verwendet werden, sondern auch, weil gewissen Zahlsystemen wie den Quaternionen und Biquaternionen verschiedener Spielart eine über das gewöhnliche Maß hinausgehende Rangstellung zuerteilt wird. Die Bedeutung dieses \textit{I.~Kapitels ``Grundlagen der Arithmetik}'' reicht aber in Umfang, Systematik und Geschlossenheit des Aufbaus wesentlich weiter. Es geht aus vom \textit{Cantor}schen Begriff der \textit{Menge}, der -- wie auch alle folgenden Grundbegriffe -- durch implizite Definition eingeführt wird, d.~h. alle Grundbegriffe sind nur abstrakt durch die zwischen ihnen geforderten Relationen erklärt, wobei diese \textit{Forderungen} (= \textit{Axiome, Grundsätze}) und \textit{Grundbegriffe} nach dem Prinzip des minimalen Inhaltes ausgewählt sind und auch die Zahl der Grundbegriffe für sich ein Minimum sein soll. Von den \textit{Mengen} schlechthin steigt dieses arithmetische Kapitel auf zunächst zu den \textit{geordneten Mengen} (denen gesteigerte Bedeutung zukommt), dann zu \textit{Gruppen} und \textit{geordneten Gruppen} und dringt zu den \textit{Zaalsystemen} und \textit{Größensystemen} bzw. \textit{geordneten Zahl-} und \textit{Größensystemen} vor. Es ist dabei die Absicht durchgeführt, diese Begriffe Menge, Gruppe, Zahlsystem, Größensystem stets in völlig einheitlicher Weise zu erweitern und auszugestalten, insofern, als ihre wesentlichen feineren Eigenschaften, nämlich Ordnung, Dichte, relative Dichte, Stetigkeit, ferner Meßbarkeit, Kommutativität, Assoziativität, Singularität in völliger Parallelität eingeführt und untersucht werden. Durch diese Anordnung der Begriffe wird eine gewisse Zwangläufigkeit der begrifflichen und logischen Struktur der einzelnen Teilabschnitte dieser Grundlagen der Arithmetik herbeigeführt. Ein weiterer \textit{charakteristischer Zug des Buches}, der schon hier deutlich hervortritt, ist die überall bis ins letzte durchgeführte genaue Abwägung und Untersuchung der Unabhängigkeits- und Abhängigkeitsverhältnisse aller Grundsätze zueinander. Dabei wird als Absicht herausgestellt, jedenfalls bei allen neu eintretenden Grundsätzen ihre Unabhängigkeit von den schon vorhandenen nachzuweisen (während ihre Unabhängigkeit von den erst später aufkommenden meist schon begrifflich klar ist). Im einzelnen werden also nach der allgemeinen Definition der Mengen die \textit{linear geordneten Mengen} gekennzeichnet durch Einführung der \textit{Ordnungsbeziehungen} ``\textit{vor}'' und ``\textit{nach}'' und so die Definition von ``\textit{zwischen}'' ermöglicht. Es folgen die Begriffe ``\textit{Dichte}'' und ``\textit{relative Dichte}'' linear geordneter Mengen, endlich die Definition der ``\textit{Stetigkeit}'' im Dedekindschen Sinne einer linear geordneten dichten Menge als einer solchen, bei der jeder Teilung in zwei Teilmengen von Dingen \(a\) und \(b\) derart, daß jedes \(a\) vor jedem \(b\) ist, ein Ding \(x\) vor keinem \(a\) und nach keinem \(b\) entspricht. (Hier konnte ein gewisser grundlegender Mangel der 1. Auflage behoben werden.) Gestützt auf die Theorie der linear geordneten Mengen gelingt es, neben den zyklisch geordneten vor allem die Theorie der planar- und sphärisch-geordneten sowie der überplanar- und übersphärisch-geordneten Mengen zu entwickeln. (Auch hier einige Korrekturen gegenüber der 1.~Auflage.) Als \textit{Gruppe} wird nun eine Menge definiert, wenn zweien ihrer Elemente \(a\) und \(b\) als ihre ``\textit{Komposition}'' eindeutig ein drittes Element \(a+b\) zugeordnet ist. Die Gruppe kann \textit{assoziativ} sein (Gegenbeispiel: \textit{Cayley}s Oktaven mit der Multiplikation als Komposition), desgleichen \textit{kommutativ} (Gegenbeispiel: \textit{Hamilton}sche Quaternionen), sie kann ``\textit{singulär}'' sein, d.~h. es muß nicht das ``\textit{binäre Gesetz}'' gelten, wonach aus \(a+b=a+b'\) bzw. \({}=a'+b\) folgt: \(b=b'\) bzw. \(a=a'\) (Gegenbeispiel: \textit{Study}s \textit{duale} Zahlen mit der Multiplikation als Komposition). In der Gruppe kann es \textit{Nullelemente} geben, d.~h. Elemente 0, so daß \(0+0=0\) gilt, oder man kann sie doch durch solche ergänzen; das Gleiche gilt hinsichtlich der \textit{Inversen Elemente} \(-a\), definiert durch \(a+(-a)=0\). Eine Gruppe wird als \textit{geordnet} bezeichnet, wenn sie eine geordnete Menge ist, in der die Elementenpaare \((0,a)\) und \((-a,0)\) dieselbe lineare Teilmenge bestimmen und das \textit{additive Anordnungsaxiom} (52) gilt, wonach zwischen den Elementen \(a\), \(b\), \(c\), \dots und \(a+h\), \(b+h\), \(c+h\), \dots bzw. \(h+a\), \(h+b\), \(h+c\), \dots dieselben Anordnungsbeziehungen bestehen. Die linear geordnete Gruppe heißt \textit{meßbar}, wenn das \textit{Archimedische Axiom der Meßbarkeit} gilt: ``sind \(a\) (nach 0) und \(x\) zwei Elemente, so ist \(x\) vor \(a\), oder \(x\) vor \(a+a\), oder \(x\) vor \(a+a+a\), usw.'' -- All dies läßt sich auf die übrigen Ordnungen übertragen. Als \textit{Zahlsystem} wird nun eine solche Gruppe bezeichnet, wenn in ihr neben \(a+b\) noch eine \textit{zweite Komposition} \(a\cdot b\) besteht, die mit der ersten in \textit{distributiver Verknüpfung} steht. Die beiden Kompositionen heißen \textit{Addition} und \textit{Multiplikation}, die Elemente der Gruppe ``\textit{Zahlen}''. Das Zahlsystem kann \textit{assoziativ} sein, d.~h. es kann gelten \[ (ab)c=a(bc).\tag{\(A\)} \] Die Zahl \(a\) kann \textit{singulär} sein, d.~h. es gilt für sie nicht das \textit{binäre Gesetz}: \[ \begin{alignedat}{4} &\text{Aus }a &&b=ab'\quad&&\text{bzw.}\quad a&&b=a'b\tag{\(B\)}\\ &\text{folgt }&&b=b' &&\text{bzw.} &&a=a'. \end{alignedat} \] Wenn nicht vorhanden, kann man dem Zahlsystem jene nichtsingulären \textit{Zahlen} 1 (``\textit{Eins}'') hinzufügen, für welche \(1\cdot 1=1\) gilt. Mit deren Hilfe werden \textit{ganze} und \textit{reziproke} Zahlen definiert und letzte, wenn nicht vorhanden, dem Zahlsysteme eingefügt. Dann können in üblicher Weise ``\textit{rationale}'' und -- durch Anordnungsbeziehungen definiert -- als Ergänzung des Systems der rationalen zu einem stetigen Zahlsysteme die ``\textit{irrationalen}'' Zahlen, insgemein also die ``\textit{reellen}'' Zahlen, definiert werden. Das Zahlsystem kann \textit{kommutativ} sein, falls nämlich gilt: \[ ab=ba.\tag{\(C\)} \] \textit{Es werden nun allein solche Zahlsysteme betrachtet, in denen die vorhin aufgestellten Axiome der Verknüpfung eventuell mit Ausnahme von} \(A\), \(B\), \(C\) gelten. Es wird bewiesen, daß in einem solchen Zahlsystem mit \(A\) und \(B\) ohne \(C\) die \textit{quadratische Gleichung} \(x^2-2ax+b=0\) im allgemeinen beliebig viele Wurzeln hat, daß aber, falls auch \(C\) gilt, höchstens zwei Wurzeln vorhanden sind. Die Gleichung \(i^2+1=0\) hat im System der reellen Zahlen keine Lösung, vielmehr definiert sie eine \textit{imaginäre Einheit} \(i\) und diese wieder \textit{imaginäre Zahlen} \(a+bi\), und es kann verlangt werden, daß weiterhin für reelle Zahlen und \(i\) das distributive und assoziative Gesetz gelten. Dann folgt allgemein, daß \(A\), \(B\), \(C\) bestehen. Auch \textit{lineare Gleichungen} haben in einem Systeme mit \(A\) und \(B\) ohne \(C\) im allgemeinen unendlich viele Lösungen. Es wird noch eine ausführlichere Untersuchung der Existenz der Lösungen von \textit{linearen Gleichungssystemen} entwickelt. Es werde nun die Gültigkeit von \(B\) und \(C\) \textit{nicht} vorausgesetzt. Dann werden -- die Divisoren als nicht singulär vorausgesetzt -- definiert: \[ \begin{alignedat}{2} (\alpha,\beta)&=\alpha-\beta&&= \text{``\textit{Abstand}'' von \(\alpha\) und \(\beta\);}\\ (\alpha,\beta,\gamma)&=\dfrac{(\alpha,\gamma)}{(\beta,\gamma)}&&= \text{``\textit{Verhältnis}'' von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\);}\\ (\alpha,\beta,\gamma,\delta)&= \frac{(\alpha,\beta,\gamma)}{(\alpha,\beta,\delta)}&&= \text{``\textit{Doppelverhältnis}'' von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\).} \end{alignedat} \] Es wird das Verhalten dieser Größen untersucht unter verschiedenen Gültigkeitswerten von \(B\) und \(C\). Z.~B. ist \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) eine projektive Invariante (d.~h. unempfindlich gegen eine gemeinsame lineargebrochene Substitution von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\)) dann und nur dann, wenn \(C\) gilt. In diesem Falle haben auch zwei Zahlenpaare ein eindeutig bestimmtes gemeinsames harmonisches Paar. Die beiden Tripel \(\left\{\begin{matrix}\l&\l&\l\\\alpha&\beta&\gamma\\\alpha'&\beta'&\gamma' \end{matrix}\right\}\) bilden eine ``\textit{Involution}'', falls \[ (\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^{-1}(\beta-\alpha')= (\alpha-\beta')(\gamma'-\beta')^{-1}(\gamma'-\alpha'). \] Es gilt: Mit \(\left\{\begin{matrix}\l&\l&\l\\\alpha&\beta&\gamma\\\alpha'&\beta'&\gamma' \end{matrix}\right\}\) ist \(\left\{\begin{matrix}\l&\l&\l\\\alpha'&\beta'&\gamma'\\\alpha&\beta& \gamma\end{matrix}\right\}\) zugleich eine Involution im allgemeinen dann und nur dann, wenn \(C\) gültig ist; ferner: Zu fünf Zahlen läßt sich die sechste involutorische durch Harmonien im allgemeinen gleichfalls dann und nur dann finden, wenn \(C\) gültig ist. Die beiden Quadrupel \(\left\{\begin{matrix}\l&\l&\l&\l\\\alpha&\beta&\gamma&\delta\\ \alpha'&\beta'&\gamma'&\delta'\end{matrix}\right\}\) heißen ``\textit{projektiv}'', wenn \((\alpha\beta\gamma\delta)=(\alpha'\beta'\gamma'\delta')\). Zu sieben Zahlen kann die achte projektive im allgemeinen dann und nur dann durch bloße Harmonien gefunden werden, wenn \(C\) gilt. \textit{Geordnet} heißt ein Zahlensystem, wenn es eine geordnete Gruppe ist. Die linearen Ordnungsrelationen ``vor'' und ``nach'' geben dabei die Begriffe ``\textit{größer}'' und ``\textit{kleiner}'' in linear geordneten Zahlsystemen. Ein geordnetes Zahlensystem heißt ein \textit{Größensystem}, wenn das \textit{multiplicative Anordnungsaxiom} (126) gilt, wonach zwischen den Zahlen \(a\), \(b\), \(c\), \dots dieselben oder die entgegengesetzten Ordnungsbeziehungen bestehen, wie zwischen \(hak\), \(hbk\), \(hck\), \dots (mit beliebigen \(h,k\neq 0\)). Gelten in einem Zahlensystem alle Verknüpfungssätze, so ist es ein ``\textit{gewöhnliches}''. Gelten außerdem die linearen Anordnungssätze (52) und (126), so heißt es ein ''\textit{reelles}'' \textit{Größensystem}. Nimmt man die imaginäre Einheit \(i\) (\(i^2+1=0\)) hinzu, so entsteht ein \textit{imaginäres Größensystem}, und dieses kann man planar ordnen. Es wird gezeigt, daß Axiom (52) für lineare, planare und überplanare Anordnung unabhängig ist von allen früheren Grundsätzen. Ebenso ist Axiom (126) für lineare Anordnung von den früheren Anordnungsaxiomen unabhängig, einschließlich (52) und der Stetigkeit. Als \textit{Grundsatz der relativen Dichte} (\(D\)) wird die Forderung erhoben, daß eine geordnete Menge ein ``gewöhnliches'' Größensystem als relativ dichte Teilmenge enthalte. Diese Forderung \(D\) ist \textit{gleichwertig der Veroneseschen Meßbarkeit} (132): ``In einem linearen Größensystem gilt für positive Größen: (1) zu \(a\) und \(b\) gibt es ein \(l\) so, daß \(l\cdot a>b\), (2) zu \(k\) und \(a\) gibt es ein \(b\) so, daß \(k\cdot b<a\) gilt.'' Es folgt eine ausführliche Reihe von \textit{Unabhängigkeitsbetrachtungen}, vorerst für \textit{lineare Anordnungen}: Insbesondere wird gezeigt, daß aus \(C\), den Grundsätzen der linearen Anordnung und den übrigen der Verknüpfung \(D\) folgt (und umgekehrt). Weiter: Stetigkeit ist in einem linearen Größensysteme unabhängig von den übrigen Sätzen einschließlich \(D\) und der Meßbarkeit. Es ist in einem linearen Größensysteme \(D\) -- also auch \(C\) -- abhängig von der Meßbarkeit. Dabei ist, worauf Wert zu legen ist, \(C\) nur von einem Teile der Meßbarkeit, nämlich nur von \(D\) abhängig, und diese Abhängigkeit besteht auch in umgekehrter Richtung. Nun wird gezeigt: Die \textit{Forderung} (\(D'\)), daß ein linear geordnetes Zahlensystem das System der rationalen Zahlen relativ dicht enthalte, ist \textit{äquivalent} der \textit{Archimedischen Meßbarkeit}. Überträgt man also die für linear geordnete stetige Mengen definierte Stetigkeit auf Größensysteme, so zieht sie die \textit{Veronesesche bzw. Archimedische Meßbarkeit} nach sich, wenn man hinzunimmt, daß die im Dedekindschen Schnitte auftretenden Differenzen \((b-a)\) kleiner werden als jede Zahl eines \textit{gewöhnlichen bzw. eines rationalen Systems}. Also ist die \textit{Forderung \(D\) gleichwertig der Veroneseschen, die Forderung \(D'\) gleichwertig der Archimedischen Meßbarkeit}. Hinsichtlich der \textit{planaren Anordnung} wird nun gezeigt: \(C\) und \(D\) sind unabhängig von allen übrigen Grundsätzen der Verknüpfung, jenen der planaren Anordnung und von der Stetigkeit. Aus \(C\), den Sätzen der Verknüpfung und jenen der planaren Anordnung folgt \(D\) (und umgekehrt). In einem planaren System ist die Stetigkeit unabhängig von allen übrigen Sätzen einschließlich \(D\) und der Meßbarkeit. Das \textit{Archimedische Axiom} ist gleichwertig der Forderung, daß das System der imaginären rationalen Zahlen in dem planar geordneten Zahlensystem \textit{relativ dicht} enthalten sei. Also ist in einem planar geordneten System \(D\) unabhängig von der Meßbarkeit. In einem gewöhnlichen reellen Größensysteme kann die \textit{Existenz der Quadratwurzeln} aus positiven Größen \textit{ohne Benutzung der Meßbarkeit} bewiesen werden, desgleichen die Existenz einer reellen Wurzel einer algebraischen Gleichung ungeraden Grades. Durch Übertragung des zweiten \textit{Gauß}schen Beweises des Fundamentalsatzes der Algebra folgt, wieder \textit{ohne Meßbarkeit}, die \textit{Existenz} einer Wurzel (und damit von höchstens \(n\) \textit{Wurzeln}) einer \textit{algebraischen Gleichung} \(n^{\text{ter}}\) Ordnung in einem imaginären Zahlsystem. Gleichfalls und im Gegensatz zu \textit{Weierstraß} ohne Meßbarkeit kann man zeigen, daß ein gewöhnliches, \(i\) enthaltendes Zahlensystem ein imaginäres ist, d.~h. nur Zahlen der Form \(a+bi\) mit reellen \(a\) und \(b\) enthält. Das reichhaltige und sorgfältig angelegte Kapitel schließt mit den \textit{Sätzen der Widerspruchsfreiheit und der Vollständigkeit}: Die Grundsätze der Verknüpfung, Stetigkeit, der Meßbarkeit sind unter sich und mit den Sätzen der linearen bzw. planaren Anordnung nicht im Widerspruch. -- Das System der Axiome der Verknüpfung, der Stetigkeit, der linearen bzw. planaren Anordnung ist im Bereiche der reellen bzw. imaginären Zahlen nur auf Kosten der Meßbarkeit erweiterungsfähig. (Eine Kritik der Stellen der Vahlenschen Untersuchungen, die insbesondere Unabhängigkeit der Meßbarkeit von der Stetigkeit Dedekindscher Prägung annehmen, wurde mittlerweile von anderer Seite in Zbl. Math. Grenzgeb. 23 (1941), 356, geübt.) Because of technical reasons the second part of the abstract is in JFM 66.0690.01.