Abstrakte Geometrie. Untersuchungen über die Grundlagen der Euklidischen und Nicht-Euklischen Geometrie. (Q2587823)

Fortsetzung des Referates von JFM 66.0687.02. \textit{IV. Kapitel}: \textit{Affine Geometrie}. Der von den Verbindungsgrundsätzen unabhängige Satz ``zwei Gerade einer Ebene haben stets einen Schnittpunkt'' kann nicht als ein Erfahrungssatz, sondern nur als eine \textit{Hypothese} betrachtet werden, neben die sich gleichberechtigt die andere stellt ``es gibt in der Ebene Geradenpaare ohne Schnittpunkt''. Die auf sie gegründete \textit{affine Geometrie} besitzt nur noch teilweisen Dualismus. Von zwei nichtschneidenden Geraden einer Ebene sagt man, sie hätten einen ``\textit{uneigentlichen Punkt}'' gemein, und ähnlich führt man uneigentliche Geraden und Ebenen ein. Der Erfahrung entnimmt man den \textit{Verknüpfungsgrundsatz der uneigentlichen Elemente}: ``Durch jeden eigentlichen Punkt gehen nur eigentliche Gerade und Ebenen''. Er ist von allem Früheren unabhängig, und man kann zeigen, daß im Gesamtgebiete der uneigentlichen Elemente alle Verknüpfungsgrundsätze der projektiven Geometrie unverändert gültig sind. Die \textit{Anordnungssätze} der uneigentlichen Elemente werden auf den folgenden \textit{Grundsatz} gestützt: ``Zwei eigentliche und zwei uneigentliche Punkte einer Geraden trennen sich nicht''. Auch er ist der Erfahrung entnommen und unabhängig von den früheren vier reinen Grundsätzen der Anordnung. Nun läßt sich der affine Begriff ``\textit{zwischen}'' definieren: Trennen die Punkte \(A\), \(C\) auf einer Geraden den Punkt \(B\) und einen uneigentlichen Punkt \(U\), so liegt \(B\) zwischen \(A\) und \(C\). Es folgt der grundlegende Satz: ``Hinsichtlich ihrer uneigentlichen Punkte kann eine \textit{eigentliche Gerade} von \textit{dreierlei Art} sein, indem sie entweder \textit{keinen} oder \textit{einen} oder \textit{mehr als einen uneigentlichen Punkt} enthält''. Dieser Erfahrungssatz läßt sich nicht unmittelbar aus dem bisherigen ableiten. Es gelingt dies aber mittels des folgenden \textit{Grundsatzes}: ``Es gibt \textit{Affinitäten} (d.~h. Kollineationen, welche uneigentliche Elemente in ebensolche überführen), in denen ein beliebiges eigentliches inzidentes Tripel, bestehend aus einem Punkt, einer Geraden und einer Ebene, in ein beliebiges anderes gleicher Art transformiert wird.'' Es folgt, daß im Raum die eigentlichen Geraden jeweils nur von \textit{einer} der drei Arten sind. Außer der Geometrie ohne uneigentliche Punkte (projektive Geometrie) gibt es also zwei ``\textit{affine}'' \textit{Geometrien}, erstens die \textit{Euklidische} mit genau einem uneigentlichen Punkte auf jeder eigentlichen Geraden und zweitens die \textit{Nichteuklidische Geometrie}, in welcher jede eigentliche Gerade mehrere uneigentliche Punkte enthält. In der \textit{Euklidischen affinen Geometrie} heißen zwei einen uneigentlichen Punkt bestimmende Geraden ``\textit{parallel}'', und es gilt der \textit{Grundsatz}: ``Auf jeder eigentlichen Geraden liegt genau ein uneigentlicher Punkt'', also in jeder Ebene eine uneigentliche Gerade, im Raum eine uneigentliche Ebene, oder ``Zu jeder Geraden gibt es durch einen Punkt genau eine Parallele'' (\textit{Euklidisches Parallelenaxiom}). Es werden nun aus wesentlich neuen Gesichtspunkten einige besondere affine Verwandtschaften behandelt, nämlich die \textit{Schiebungen}, die \textit{Spiegelungen an Punkten}, und die \textit{Dehnungen} und Spiegeldehnungen (d.~s. zentrische Ähnlichkeiten in affiner Begriffsbestimmung) und ihr Zusammenhang mit \textit{Vektoren, Punktgrößen} und \textit{Tensoren}. Als \textit{neuer Gesichtspunkt} ist dabei der Nachweis zu werten, daß es möglich ist, Systeme von Verwandtschaften, die man üblicherweise nur in dem Ordnungs- und Verknüpfungsschema der \textit{Gruppen} betrachtet, auch als \textit{Zahlensysteme} aufzufassen. Notwendig hierfür ist es, zu zeigen, daß man für sie zwei Arten der Komposition, eine Addition und eine Multiplikation definieren kann, die distributiv verknüpft sind. Wird die Komposition der Gruppenelemente als Addition \(a+b\) ihrer Elemente \(a\), \(b\) gefaßt, so erhält man das zur \textit{Gruppe} gehörige \textit{Zahlsystem}, indem man als seine Elemente die \textit{Quotienten} \(\dfrac ab\) der Gruppenelemente einführt. Die \textit{Multiplikation} der Zahlen folgt dann aus \(\dfrac ab\cdot\dfrac bc=\dfrac ac\) und die \textit{Addition} aus der obigen durch \(\dfrac ac+\dfrac bc=\dfrac{a+b}c\), wozu noch die Möglichkeit nötig ist, jedes Element als ein solches mit vorgegebenem Zähler oder Nenner in seiner Quotientendarstellung zu schreiben. Insbesondere wird gezeigt, daß die \textit{Vektoren} (Schiebungen) ein (singuläres) \textit{Zahlensystem} mit assoziativer, kommutativer und distributiver Addition und Multiplikation bilden; Vektordifferenzen sind dabei singulär. Man kann nämlich eine Schiebung stets auffassen als Produkt zweier Spiegelungen an Zentren \(A\) und \(B\), wobei \(A\) oder \(B\) beliebig vorgegeben werden können. Und weil die Spiegelung involutorisch ist, d.~h. \(B\cdot B\) die Identität gibt, gilt \(\dfrac1B=B\), so daß jedes (alternierende) Produkt \(AB\) auch als Quotient \(\dfrac AB\) geschrieben werden kann. Jeder \textit{Vektor} wird so \textit{Quotient zweier Spiegelungen}. Die Addition von Spiegelungen und ihre Linearkombination wird nach dem Vorgehen der Punktrechnung erklärt. Ähnlich wird gezeigt, daß die \textit{Tensoren} eines Punktes (``gebundene Tensoren'') ein \textit{Zahlsystem} bilden, dessen Multiplikation \textit{kommutativ} ist, wenn der Pascalsche Satz gilt. In diesem Falle sind auch Tensoren (``freie Tensoren'') verschiedener Punkte vergleichbar, können auch addiert und multipliziert werden, und parallele Tensoren heißen gleich. Mittels der Tensoren kann man in die affine Geometrie auch \textit{Koordinaten} einführen. Und Tensoren lassen sich als Verhältnisse von Vektoren auf derselben oder auf parallelen Geraden auffassen. Das Produkt eines Tensors und Vektors ist ein Vektor. So sind wieder Addition und Multiplikation von Tensoren erklärt. Das System der \textit{dualen Zahlen} \(t+\varepsilon v\) (\(\varepsilon^2=0\)) läßt sich hier einordnen. Es wird gebildet von den Aggregaten \((t,v)\) eines Tensors \(t\) und eines Vektors \(v\), wenn Addition und Multiplikation so festgesetzt werden: \((t,v)+(t_1,v_1)=(t+t_1,v+v_1)\); \((t,v)\cdot(t_1,v_1)= (tt_1,tv_1+t_1v)\). Übrigens bilden auch gebundene Tensoren ein singuläres Zahlsystem, wobei Vektordifferenzen singulär sind. Durch Dehnungen und Schiebungen lassen sich ähnliche und ähnlich-gelegene Figuren definieren, symmetrische Figuren aber, wenn man noch eine Spiegelung anfügt. Damit kann man Winkelgleichheit definieren und man hat den gestreckten Winkel als Summe der Winkel eines Dreiecks. Mittels des affinen Grundsatzes der \textit{Meßbarkeit}: ``Liegt \(A_1\) zwischen \(A_0\) und \(X\) und macht man \(A_0A_1=A_1A_2=\cdots= A_{k-1}A_k=\cdots\), so gibt es eine ganze Zahl \(k\), so daß \(X\) zwischen \(A_0\) und \(A_k\) liegt'', kann der \textit{Pascal}sche Satz wie oben bewiesen werden. Die Gleichheiten \(A_0A_1=A_1A_2=\cdots\) haben dabei den Sinn von Vektorgleichheit, die früher in der Ebene unter Annahme des Desarguesschen Satzes definiert wurde und so allein zulässig definiert werden kann, wie am Beispiele der in Kapitel~II erstellten Nichtdesarguesschen Geometrie nachgewiesen wird. Der Desarguessche Satz ist übrigens von der Meßbarkeit dann unabhängig, wenn man darin die Gleichheit \(A_0A_1=A_1A_2\) so faßt, daß \(A_2\) durch \(A_0\) und \(A_1\) eindeutig bestimmt ist. Die \textit{Nichteuklidische affine Geometrie} stützt sich auf den \textit{Grundsatz}: ``Auf jeder eigentlichen Geraden liegen mehrere uneigentliche Punkte.'' Es wird unter Voraussetzung der \textit{Stetigkeit} gezeigt, daß auf einer eigentlichen Geraden \(g\) zwei eindeutig bestimmte Punkte \(I\), \(J\) existieren, die den folgenden widerspruchslosen Anordnungsbeziehungen genügen: \(AI\), \(BW\) und \(AJ\), \(CW\) sind getrennte Paare für alle eigentlichen Punkte \(B\), \(C(\neq A\)) und für alle uneigentlichen Punkte \(W\). \(I\) und \(J\) sind dabei uneigentliche Punkte, und zwar sind sie unabhängig von \(A\). Man nennt sie ``\textit{Grenzpunkte}'', und ihr Inbegriff ist das ``\textit{Grenzoval}''. Es wird von jeder eigentlichen Geraden in zwei Punkten geschnitten und entspricht sich in jeder \textit{Affinität} selbst. Geht die eigentliche Gerade \(g\) durch einen Grenzpunkt der eigentlichen Geraden \(h\), so heißt \(g\) ``\textit{parallel}'' \(h\), und es wird ohne Benutzung von Kongruenzsätzen (Gauß) gezeigt, daß dieser Parallelismus reziprok ist. Durch einen Punkt gibt es zu \(g\) zwei Parallelen. Wird eine Gerade bzw. Ebene, die genau einen Grenzpunkt enthält, als \textit{Grenzgerade} bzw. \textit{Grenzebene} bezeichnet, so kann man durch Studium der Anordnungsverhältnisse erweisen, daß die durch einen uneigentlichen Punkt \(O\) (der nicht Grenzpunkt ist) möglichen Grenzgeraden Grenzpunkte besitzen, die dem vollständigen Schnitt einer \textit{Ebene} (``Polarebene von \(O\)'') mit dem Grenzoval angehören. Es resultiert ein \textit{Polarsystem}, das nach Einführung von Koordinaten die Identität des \textit{Grenzovals} mit einer \textit{ovalen Fläche zweiter Ordnung} erweist, dessen innere Punkte die eigentlichen sind. Auf dieses schöne (Vahlensche) Ergebnis folgt die (im Gegensatz zur euklidisch affinen Geometrie hier mögliche) Einführung der \textit{Kongruenz} von Figuren als affinäquivalenter und der Nachweis, daß \textit{Strecken} und \textit{Winkel} linear geordnete Gruppen bilden, deren Komposition assoziativ und, im Pascalschen Falle, auch kommutativ ist. Auch auf imaginäre Grenzelemente wird kurz eingegangen. Im ganzen wird also die Nichteuklidische metrische Geometrie auf Grund der Verknüpfungs- und Anordnungssätze, der Stetigkeit und Existenz der Affinität, aber ohne explizite Annahme der Meßbarkeit begründet. Es wird jedoch bemerkt, daß Strecken und Winkel von der Annahme der uneigentlichen Elemente unabhängig sind und ihre Theorie somit ohne Voraussetzung über diese Elemente hergeleitet werden könne, was die Aufgabe der nun folgenden \textit{metrischen Geometrie} ist. Entsprechend den drei möglichen (nachherigen) Annahmen über die uneigentlichen Elemente hat man dabei \textit{drei Arten metrischer Geometrie} zu unterscheiden, eine projektiv-, Euklidisch- und Nichteuklidisch-metrische. Dabei ist die Euklidisch-metrische von der Euklidisch-affinen wirklich verschieden, die Nichteuklidisch-metrische und Nichteuklidisch-affine dagegen fallen in der Sache zusammen, nur ihre Ausgangspunkte sind andere: einmal der Grundsatz von der Existenz der Affinität, das andremal die metrischen Grundsätze. Because of technical reasons the fifth part of the review is in JFM 66.0696.01