Grundlagen und analytischer Aufbau der Geometrie. (Q2587824)

Von den größeren deutschen Lehrbüchern der analytischen Geometrie hat wohl jenes zum Teil gemeinsam mit \textit{C. Koehler} verfaßte dreibändige von \textit{L. Heffter} (l. Bd. 2. Aufl. 1927; F. d. M. 53, 593 (JFM 53.0593.*); II. Bd. 1923; F. d. M. 49, 421 (JFM 49.0421.*); III. Bd. 1929, F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 954) grundsätzlich erstmalig ein konsequent axiomatisch-gruppentheoretisches Gerüst aufzuweisen. Der in diesen drei umfänglichen Bänden einigermaßen verstreut eingearbeitete \textit{systematische Aufbau} soll in dem vorliegenden Buche im Skelett, soweit er die Fundamentierung der Geometrie und ihre analytische Darstellung betrifft, in Kürze zusammengestellt werden. So ist eine glückliche und reinliche Darstellung von Grundlagen und analytischem Aufbau der projektiven, euklidischen und nichteuklidischen Geometrie entstanden, deren Zweck nicht so sehr eine gewisse geometrische Reichhaltigkeit, sondern vielmehr eine Klarlegung des rein architektonischen Tragwerkes der behandelten geometrischen Disziplinen ist. Es gelingt dabei dem Verf. zu zeigen, daß ein solches Beginnen auch für den Formenreichtum liebenden Geometer keineswegs entsagungsvoll sein muß. Vielmehr finden sich in dem Buche, trotz der Vermeidung aller geometrischen Überladung, vor allem in seinen nichteuklidischen Abschnitten, sehr viele interessante und in neuartiger Darstellung gegebene Einzelheiten. In Übersicht geschildert, gibt \textit{Kapitel A} die \textit{Grundlagen der Geometrie}. Ausgehend von den Axiomen der Inzidenz werden die projektiven Transformationen als Produkte von Perspektivitäten eingeführt und die Dualitätsprinzipien sowie die Sätze von Desargues und der Viereckssatz bewiesen. Nach Heranziehung der Axiome der Anordnung können die Sätze von Pasch und Fano und die projektive Invarianz des harmonischen Wurfes bewiesen und die projektlve Skala eingeführt werden. Nun wird das Dedekindsche Stetigkeitsaxiom in projektiver Fassung gebracht und damit der Satz vom Fluchtpunkt der projektiven Skala und die Abbildung der Punktreihe auf die Zahlgerade hergeleitet und jedem Wurfe ein Doppelverhältniswert zugeordnet. Es folgen die Fundamentalsätze der projektiven Zuordnung in den Grundgebilden der verschiedenen Stufen, sowie deren kollineare und korrelative Transformationen. Die Begriffe Polarsystem, projektive Gruppe und Invariante leiten hin zu einer Erläuterung und Definition des Wesens der projektiven Geometrie, der Parallelgeometrie, der Orthogonalgeometrie, die durch Auszeichnung eines absoluten Polarsystems geschaffen wird, der äquiformen und euklidischen Geometrie, deren Verhältnis zu den nichteuklidischen Geometrien noch knapp erläutert wird. Nun gelingt es in \textit{Kapitel B}, das, nach Gerade, Ebene, Raum gegliedert, in drei Abschnitte zerfällt, nach Einführung von Koordinaten für Punkte, Geraden und Ebenen und von imaginären Elementen, die \textit{Projektive Geometrie} systematisch in analytischer Darstellung zu entwickeln, projektive Transformationen, Korrelationen, insbesondere Polarsysteme darzustellen, die Theorie der quadratischen Gebilde in ihren Elementen zu entwickeln und sie nach ihrer Realität zu klassifizieren. Man vermerkt hier gern auch einen Abschnitt über den schon projektiven Charakter des Unterschiedes zwischen ``Links'' und ``Rechts''. Es folgt in \textit{Kapitel C} ein analoger Aufbau der Parallelgeometrie, die aus der projektiven durch Auszeichnung einer uneigentlichen Ebene entsteht. Nach Einführung des Abstands (\(=\) Teil) verhältnisses als grundlegender Invariante werden affine Koordinaten definiert und die Gebilde zweiter Ordnung eingehender behandelt. Als Kernstücke des Buches folgen in den \textit{Kapiteln C} und \textit{D} die \textit{Orthogonalgeometrie} und die \textit{nichteuklidische (Cayley-Klein}sche) \textit{Geometrie}. Hier wirkt das Buch wohl am eigenständigsten. Der Orthogonalgeometrie wird dabei, wie erwähnt, zugrunde gelegt ein absolutes Polarsystem, auf das äquiforme Koordinaten gegründet sind. Sehr schön und systematisch wird nun die Metrik durchgeführt, gestützt auf ein allgemeines Maßprinzip: Einführung der vier Gestalten des absoluten Kegelschnittes in Ebenen-, Punkt- Linien- und Achsenkoordinaten als ``Maßfunktionen'' und mit deren Hilfe ``Normierung'' der Koordinaten von Punkten, Geraden (Speeren) und Ebenen. Auf eine gewisse, Dualität, die der Metrik des euklidischen Raumes noch als projektives Erbe verbleibt, wird ausführlich und sinnfällig hingewiesen -- sie findet sich vollkommen vorhanden erst in der nichteuklidischen Geometrie. Vorangestellt sind der Betrachtung die Sinusquadrate der Elementenpaare, -tripel und -quadrupel, aus denen alle Metrik hergeleitet wird. Ähnlich wird im nichteuklidischen Falle verfahren, wo die Gleichungen des Cayley-Kleinschen Absolutgebildes in ihren verschiedenen Formen als ``Eichfunktionen'' dienen und Normalkoordinaten definieren. Der wieder auf das Sinusquadrat von Elementenpaaren gestützten Behandlung der Metrik, die zu einer Dreiecks- und Tetraedergrößenlehre ausgestaltet ist und eine Betrachtung der Kreise und Kugeln und der Cliffordschen Fläche umfaßt, geht hier voran ein ausführliches Studium der Parallelitäten und Orthogonalitäten einschließlich des Cliffordschen Parallelismus und der Gemeinlote windschiefer Geraden, der Bewegungsgleichungen in Raum und Ebene und eine eingehende Klassifikation dieser Bewegungen. In einem letzten Abschnitte werden in Kürze noch neben dem Kleinschen projektiven Modell der nichteuklidischen Geometrien deren konforme Abbilder und für die elliptische Geometrie deren Deutung im euklidischen Bündel und auf der Halbkugel (Hemisphäre), für die hyperbolische Geometrie deren analoge Deutung mittels eines zweischaligen Hyperboloids und (andeutungsweise) auf der Pseudosphäre behandelt. Zum Schlüsse wird eine interessante Modellierung des hyperbolischen Raumes gegeben, die vom Verf. herrührt (S.-B. Heidelberger Akad. Wiss., math.-naturw. Kl. 1936, Nr. 6; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 652), bei der der volle euklidische Raum mit doppelt belegter Fernebene als Bildmannigfaltigkeit fungiert, wobei den Geraden und Ebenen gewisse transzendente ebene Kurven und Drehflächen entsprechen. Die analoge Abbildung wird auch für den elliptischen Fall durchgeführt, wobei sich als ``elliptischer Raum'' im Modell das Innere und die (diametral identifizierten) Randpunkte einer Kugel ergeben. Einige Berichtigungen zu dem oben zitierten Lehrbuch der analytischen Geometrie L. Heffters beschließen das in seiner Art wohlgelungene Werk.