Über eine Größe, die gleich der Summe zweier anderer ist. (Q2587855)

Verf. gibt Beispiele von elementargeometrischen Sätzen, bei deren Beweisen es darauf ankommt, eine gewisse Größe in eine Summe von zwei anderen zu zerlegen. So ist (1) das Quadrat der gegenseitigen Entfernung der Schnittpunkte der Gegenseiten eines Sehnenvierecks gleich der Summe der Potenzen der Schnittpunkte bezüglich des Umkreises. (2) In einem Tangentenvierseit \(ABCD\) mit dem Inkreismittelpunkt \(I\) ist das Produkt \(adb\) gleich der Summe \(p^2b + q^2 d\) (\(p = IA\), \(q = IB\), \(a = AB\), \(b = BC\), \(d=AD\)). (3) Sind \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) vier in dieser Reihenfolge auf einer geraden Linie liegende Punkte und \(P\) ein beliebiger Punkt außerhalb der Geraden, für den \(\sphericalangle{APD} +\sphericalangle{PBC}=180^{\circ}\) sein soll, so findet man, wenn man den Winkel \(BPC\) durch \(PX\) derart in die Summe \(BPX + XPC\) zerlegt, daß \(\sphericalangle{BPX} =\sphericalangle{P AB}\) und \(\sphericalangle{XPC} =\sphericalangle{CPD}\) ist, \(XP\) konstant gleich \(XA\cdot XB = XC\cdot XD\). Der gesuchte Ort von \(P\) ist also ein Kreis um \(X\). (4) Um zu beweisen, daß in einem sphärischen Dreieck mit der Winkelsumme \(360^\circ\) jeder der drei Mittelbogen, d. h. der Bogen größter Kreise, die die Mitten je zweier Seiten verbinden, \(90^\circ\) beträgt, muß man den Winkel \(C\) durch einen Bogen \(CC'\) derart in eine Summe zweier Winkel teilen, daß \(\sphericalangle{BCC'}\) gleich dem Außenwinkel bei \(B\) und \(\sphericalangle{C'CA}\) gleich dem Außenwinkel bei \(A\) ist.