Sul triangolo che ha per vertici i centri dei cerchi ex\-inscritti in un triangolo dato. I, II. (Q2587868)

Hat das gegebene Dreieck \(A_1B_1C_1\) die Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), so hat das Dreieck \(A_2B_2C_2\), dessen Ecken die Mittelpunkte der Ankreise des ersten Dreiecks sind, die Winkel \(90^{\circ}-\dfrac\alpha2\), \(90^{\circ}-\dfrac\beta2\), \(90^{\circ}-\dfrac\gamma2\). Das Dreieck \(A_3B_3C_3\), dessen Ecken die Mittelpunkte der Ankreise von \(A_2B_2C_2\) sind, hat die Winkel \(\dfrac{2^2\cdot90^\circ-2\cdot90^\circ+\alpha}{2^2}\),\dots. Setzt man dieses Verfahren fort, so hat das \(n\)-te Dreieck \(A_nB_nC_n\), dessen Ecken die Mittel\-punkte der Ankreise des \((n - 1)\)-ten Dreiecks sind, die Winkel \[ \frac{2^{n-1}\cdot90^\circ-2^{n-2}\cdot90^\circ+\cdots+ (-1)^n\cdot2\cdot90^\circ-(-1)^n\cdot\alpha}{2^{n-1}}=60^\circ+ (-1)^n\frac{60^\circ-\alpha}{2^{n-1}},\cdots. \] Daraus folgt: Die aufeinanderfolgenden Dreiecke sind alle einander unähnlich, es sei denn, daß das erste Dreieck gleichseitig ist. Verf. untersucht weiter die Eigenschaften der Dreiecksreihe, wenn \(n\) über jede Grenze wächst.