La discendenza particolarissima d'un classico teorema sul punto di Lemoine. (Q2587894)

Die Verbindungslinien der Seitenmitten eines Dreiecks mit den Mitten der ent\-sprechenden Höhen schneiden sich im Lemoineschen Punkt (dem Schnittpunkt der isogonal Konjugierten der Seitenhalbierenden) des Dreiecks. Dieser Satz enthält zwei Behauptungen: Daß die genannten drei Verbindungslinien sich in einem Punkt schneiden, und daß dieser Schnittpunkt mit dem Lemoineschen Punkt identisch ist. Die erste Behauptung (nicht, wie Verf. sagt, der ganze Satz) ist in folgendem von ihm (Rev. Mat. Timişoara 19 (1939), 53-54; F. d. M. 65, 649 (JFM 65.0649.*)) bewiesenen Satz als Sonderfall enthalten: Werden die Seiten \(YZ\), \(ZX\), \(XY\) des Dreiecks \(XYZ\) der Fußpunkte von drei Cevalinien \(AX\), \(BY\), \(CZ\) eines Dreiecks \(ABC\) von drei anderen Cevalinien \(Ax\), \(By\), \(Cz\) in den Punkten \(P\), \(Q\), \(R\) geschnitten, so sind \(XP\), \(YQ\), \(ZR\) drei Cevalinien des Dreiecks \(XYZ\). Wählt man als erstes Cevatripel \(AX\), \(BY\), \(CZ\) die Seitenhalbierenden und als zweites Tripel \(Ax\), \(By\), \(Cz\) die Höhen des Dreiecks \(ABC\), so erhält man, wie Verf. zeigt, die erste Behauptung des obigen Satzes. Dieser findet sich, wie Verf. in Übereinstimmung mit \textit{J. J. Mackays} geschichtlichen Angaben über den Lemoineschen Punkt (Proc. Edinburgh math. Soc. 11 (1893), 92-103) mit\-teilt, in \textit{O. Schlömilch}s Übungsbuch zum Studium der höheren Analysis I, 1868, \S~33.