Projektive Geometrie und die Grundlagen der euklidischen und polareuklidischen Geometrie. (Q2587969)

Das Buch zerfällt in vier Abschnitte, von denen man bei der Besprechung am besten die beiden ersten und die beiden letzten zu je einem Hauptteil zusammen\-faßt. Der erste Hauptteil stellt dem Umfang nach den größten Teil des Buches dar und bringt eine recht ansprechende Darstellung der projektiven Geometrie (II); der eine eingehende, von den Anordnungsaxiomen ausgehende Betrachtung der An\-ordnung der Grundelemente in der Ebene (I) vorangeht. In diesem ersten Hauptteil legt Verf. von vornherein großen Nachdruck auf die Dualität (die er Polarität nennt). Den Punktgebieten in der Ebene (Dreiecks-, Vierecksfläche usw.) stellt er in strenger Folgerichtigkeit die dualen ``Strahlenbereiche'' gegenüber, die in den üblichen Dar\-stellungen der projektiven Geometrie wenig oder gar nicht behandelt werden. Liegt in diesem ausführlichen Eingehen auf die Verhältnisse der Dualität in der projektiven Geometrie schon ein besonderes Kennzeichen des Buches, so tritt diese Hervorhebung der Dualität noch eigenartiger in dem zweiten (kürzeren) Hauptteil des Buches hervor, in dem von der projektiven Geometrie zur metrischen euklidischen Geometrie übergegangen wird. Hier wird in der üblichen Weise die unendlichferne Gerade \(g_\infty\) und auf dieser die absolute elliptische Involution, deren imaginäre Doppelpunkte \(I_1\), \(I_2\) die Kreispunkte sind, ausgezeichnet. Die Einführung der unendlichfernen Geraden führt zur affinen Geometrie, von der man durch Einführung der absoluten Involution zur euklidischen Geometrie gelangt. Die weitere Begründung der euklidischen Geo\-metrie folgt den bekannten Wegen. Dieser gewöhnlichen euklidischen Geometrie tritt aber nun auch hier als duales Gegenstück eine ``polareuklidische Geometrie'' zur Seite. Ein beliebiger Punkt der Ebene wird als ``absoluter Mittelpunkt'' \(M\) der unendlichfernen Geraden gegenübergestellt. Diese Auszeichnung eines Punktes liefert die ``polaraffine Geometrie''. Den parallelen Geraden der affinen Geometrie, deren Schnittpunkt in \(g_\infty\) liegt, entsprechen polaraffin ``zentrierte Punkte'', d. h. Punkte, deren Verbindungsgerade durch \(M\) geht. Einem Parallelogramm entspricht polaraffin ein ``Zentrigramm'' usw. Von der polaraffinen Geometrie kommt Verf. sodann zur ``polareuklidischen Geometrie'' durch das ``Rechtwinkelaxiom'', das für die Ebene folgendermaßen ausgesprochen werden kann: Unter allen möglichen Pro\-jektivitäten zwischen der Punktreihe \(g_\infty\) und dem Strahlenbüschel \(M\) gibt es eine ausgezeichnete, durch die jeder Geraden \(u\) durch \(M\) der Punkt \(U\) auf \(g_\infty\) entspricht, der die zu der Geraden \(u\) ``senkrechte Richtung'' festlegt. In dieser Projektivität entsprechen den imaginären Kreispunkten \(I_1\), \(I_2\) von \(g_\infty\) die imaginären Doppel\-strahlen \(i_1\), \(i_2\) der ``absoluten Involution'' in \(M\). Für diese polareuklidische Geometrie muß Verf. nun eine große Zahl von Begriffen mit neuen Bezeichnungen belegen, die die Dualität zu den entsprechenden Begriffen der euklidischen Geometrie zum Aus\-druck bringen sollen. So gibt es in der polareuklidischen Geometrie ``rechte Strecken'', ``Rechtseite'', ``Lotpunkte'' zu den Seiten eines Dreiseits (entsprechend den Höhen durch die Ecken eines Dreiecks), eine ``Leichtgerade'' eines Dreiseits (entsprechend dem Schwerpunkt eines Dreiecks!). Dem Kreis als einer Kurve zweiter Ordnung der euklidischen Geometrie, die durch die Kreispunkte geht, entspricht der ``Winkel\-kreis'', ein Strahlenbüschel zweiter Ordnung (Kurve zweiter Klasse), das die abso\-luten Strahlen \(i_1\), \(i_2\) enthält, usw. So interessant manche Sätze dieser ``polareukli\-dischen Geometrie'' auch sein mögen, so ist doch grundsätzlich hierzu zu sagen: Da der ``absolute Mittelpunkt'' \(M\) \textit{jeder beliebige} Punkt der Ebene sein kann, so ist die ``polareuklidische Geometrie'' des Verf. nicht das duale Gegenstück zur gewöhn\-lichen euklidischen Geometrie, sondern zu einer allgemeineren ``quasieuklidischen'' Geometrie, in der eine \textit{beliebige} Gerade \(g\) der Ebene als ``absolute'' Gerade und eine beliebige elliptische Involution auf \(g\) als ``absolute'' Involution ausgezeichnet werden. Zur eigentlichen euklidischen Geometrie, in der \(g\) mit \(g_\infty\) zusammenfällt, gibt es nun einmal kein bestimmtes duales Gegenstück. Es sei noch erwähnt, daß Verf., der weltanschaulich auf dem Boden der Rudolf Steinerschen Anthroposophie steht, mehrfach die Vermutung oder die Hoffnung aus\-spricht, daß seine polareuklidische Geometrie ``einen Zugang zur mathematischen Be\-handlung der ätherischen Kräftewelt'' eröffnen möchte. Die Beurteilung dieser An\-sicht des Verf. liegt außerhalb der Grenzen der Zuständigkeit des mathematischen Referenten.