Sulla linea tacnodale del sistema \(\infty^1\) di coniche di una quadrica che osculano una cubica sghemba. (Q2588006)

\textit{Berzolari} (Boll. Un. mat. Ital. (2) 2 (1939), 1-10; F. d. M. 65, 682 (JFM 65.0682.*)) hat das einparametrige ebene System \(\varSigma\) der \(C_2\), die einen festen Kegelschnitt \(C\) oskulieren und durch zwei feste Punkte, von denen einer auf \(C\) liegt, gehen, untersucht und bewiesen, daß die Selbstberührungslinie von \(\varSigma\), d. h. der Ort der Punkte, in denen sich zwei verschiedene \(C_2\) aus \(\varSigma\) berühren, eine rationale, \(C\) doppelt berührende \(C_3\) ist. Das gleiche Ergebnis erzielt Verf., indem er auf der Quadrik \(Q:z=xy\) das Büschel der \(C_3:y=\varrho x^2\) und deren auf \(Q\) liegende Schmiegungskegelschnitte \(\varGamma\) betrachtet. Die \(C_3\) des Büschels lassen sich in Paare einer quadratischen Involution aufteilen, die den Werten \(\pm \varrho\) entsprechen: Die \(\varGamma\), die eine \(C_3\) eines Paares schmiegen, besitzen die andere \(C_3\) des Paares zur Selbstberührungslinie; die Doppelelemente der Involution sind die zu \(\varrho=0\), \(\infty\) gehörenden zerfallenden \(C_3\). Die ebene Abbildung von \(Q\) führt auf das Berzolarische Ergebnis zurück.