Sopra un sistema di coniche \(\infty^1\) e di indice 4. (Q2588007)

In Anlehnung an die im vorstehenden Referat behandelte Aufgabe von \textit{Berzolari} untersucht Verf. das einparametrige ebene System \(\varSigma\) der \(C_2\), die eine gegebene Gerade \(g(x_3= 0)\) berühren und einen gegebenen Kegelschnitt \(C(x_1x_2-x_3^2=0)\) vierpunktig berühren. Schreibt man \(C\) in Parameterform \(x_1:x_2:x_3 =\lambda^2:1:\lambda\), so hat die im Punkte \(\lambda\) hyperoskulierende Kurve \(\varGamma_\lambda\) aus \(\varSigma\) die Gleichung: \[ x_1^2+\lambda^4x_2^2+ 8 \lambda^2x_3^2-2\lambda^2x_1x_2 -4\lambda^3 x_2 x_3 - 4\lambda x_1x_3 = 0; \] \(\varSigma\) ist also ein algebraisches System vom Index 4. Um die Selbstberührungskurve von \(\varSigma\) zu finden, geht Verf. so vor, daß er zunächst zu \(\varGamma_\lambda\) und \(\varGamma_\mu\) das gemeinsame Polardreieck mit den Ecken \(P_{\lambda\mu}\), \(Q_{\lambda\mu}\), \(R_{\lambda\mu}\) bestimmt; \(\varGamma_\lambda\) und \(\varGamma_\mu\) berühren sich gerade dann zwei- oder dreipunktig, wenn zwei oder drei Ecken dieses Polardreiecks zusammenfallen. Zwei Ecken fallen zusammen, wenn \(\lambda\neq \mu\) und \(\lambda+\mu=0\) oder \(\lambda^2-6\lambda\mu+\mu^2=0\) ist; alle drei Ecken fallen zusammen, wenn \(\lambda=\mu\) ist. Die Diskussion dieser Zuordnungen von \(\lambda\), \(\mu\) führt zur Bestimmung der Selbstberührungskurve \(\varDelta\) von \(\varSigma\); sie ist eine Kurve der Ordnung 24 und besteht aus folgenden drei je vierfach zu zählenden Bestandteilen: 1) der doppelt-gezählten Geraden \(g\), 2) dem Kegelschnitt \(C\), 3) dem Kegelschnitt mit der Gleichung \(x_1x_2-2x_3^2=0\).