Sopra le superficie cubiche dotate di infiniti punti di Eckardt. (Q2588044)

Ein Eckardtscher Punkt einer kubischen Fläche \(F^3\) ist ein einfacher Punkt \(P\) dieser Fläche, der die Eigenschaft hat, daß die Berührungsebene die Fläche \(F\) in drei von \(P\) ausgehenden Geraden schneidet. Man weiß, daß \(F\) höchstens 10 solcher Punkte aufweisen kann, falls die Hessesche Fläche von \(F\) irreduzibel ist. Es werden hier Beispiele angegeben, wo die Anzahl jener Punkte \(> 10\) und sogar unendlich ist. So besitzt die Fläche \(\sum x_i^3=0\) (\(i = 1, 2, 3, 4\)) 18 Eckardtsche Punkte, von denen drei auf jeder der sechs Geraden \(x_i=x_j = 0\) liegen; die Hessesche Fläche besteht hier aus den vier Ebenen \(x_i=0\). Wenn \(F\) zwei biplanare Doppelpunkte \(A\), \(B\) besitzt, so besteht die Gerade \(AB\) aus lauter Eckardtschen Punkten. Längs \(AB\) besitzt \(F\) eine feste Berührungsebene \(\pi\), die \(F\) in drei mit \(AB\) zusammenfallenden Geraden schneidet; die Hessesche Fläche von \(F\) zerfällt in \(\pi\) und eine weitere \(F^3\), die mit \(F\) projektiv äquivalent ist; es gibt eine einfach unendliche kontinuierliche Gruppe von Homologien, die \(F\) in sich selbst verwandeln.