The polytope \(2_{21}\), whose twenty-seven vertices correspond to the lines on the general cubic surface. (Q2588046)

Die 27 Geraden einer Fläche \(F^3\) werden hier wie üblich bezeichnet: \(a_1a_2a_3a_4a_5a_6\), \(b_1b_2b_3b_4b_5b_6\) ist eine Doppelsechs, \(c_{ik}\) ist die Schnittlinie der Ebenen \(a_ib_k\), \(a_kb_i\) (\(i, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6\); \(i\neq k\)). Es gibt 51840 Substitutionen auf den 27 Geraden, die jedes Paar inzidenter Geraden in ein solches verwandeln; sie bilden eine Gruppe \(G_{51840}\), die von folgenden Substitutionen erzeugt wird: die fünf Indizestranspositionen (12), (23), (34), (45), (56) und die Substitution \(\left(\begin{matrix} \l&\l&\l&\l&\l&\l\\ c_{23}&c_{13}&c_{12}&a_4&a_5&a_6\\ b_1&b_2&b_3&c_{56}&c_{46}&c_{45}\end{matrix}\right)\). Diese bekannte Bemerkung ist der Ausgangspunkt der vorliegenden Untersuchung. In den \S~2-4 werden die 27 Geraden auf 27 Punkte eines Raumes \(S_8\) abgebildet, die in einem Raume \(S_6\) liegen; eine solche Abbildung ist von P. H. Schoute entdeckt und vom Verf. selbst und von J. A. Todd weiter entwickelt worden (\textit{P. H. Schoute}, Proc. Akad. Wet. Amsterdam 13 (1910), 375-383; F. d. M. 41, 631 (JFM 41.0631.*); \textit{H. S. M. Coxeter}, Proc. Cambridge philos. Soc. 24 (1928), 1-9; F. d. M. 54, 648 (JFM 54.0648.*); \textit{J. A. Todd}, J. London math. Soc. 7 (1932), 200-205; F. d. M. 58, 713 (JFM 58.0713.*)). Die 27 Punkte sind die Ecken eines halbregulären Polytops \(P\); zwei Ecken sind Endpunkte einer Kante oder nicht, je nachdem sie Bilder zweier windschiefer oder zweier inzidenter Geraden sind. Verschiedene Konstruktionen liefern einige Projektionen von \(P\) auf einen Raum \(S_3\), sowie die Projektionen seiner fünf-dimensionalen Flächen; es gibt zwei Arten solcher Flächen: 72 Flächen 1. Art, die den 72 ``Sextupeln'' entsprechen, und 72 Flächen 2. Art, die den 72 Geradengruppen entsprechen, die eine und dieselbe Gerade schneiden. In den \S~5, 6 werden neue Koordinaten für die 27 Ecken des Polytops \(P\) eingeführt; sie werden aus einer bekannten Arbeit von \textit{H. Burckhardt} gewonnen (Math. Ann., Leipzig, 41 (1893), 313-343; F. d. M. 24, 465 (JFM 24.0465.*)), wo die 27 Geraden einer \(F^3\) auf gewisse 27 lineare Strahlenkomplexe abgebildet werden. Die Gruppe \(G_{51840}\) wird als eine Gruppe des Polytops \(P\) abgebildet. Die Mittelpunkte der 72 fünfdimensionalen Flächen 1. Art bilden ein neues Polytop \(Q\), das von E. L. Elte entdeckt worden ist; es werden die Werte der Koordinaten der Ecken von \(Q\) angegeben, und ein System von 6 Spiegelungen von \(Q\) in sich selbst wird aufgestellt, das die ganze Gruppe \(G_{51840}\) erzeugt. Daraus findet man im \S~7 eine Methode, die einfache quaternäre Kollineationsgruppe \(G_{25920}\) durch fünf Kollineationen zu erzeugen. Die Koeffizienten solcher fünf Kollineationen können auch (nach geeigneter Wahl der Werte von zwei in ihnen enthaltenen Konstanten) mod 7 reduziert werden. Werden sie hingegen (\S~8) im \(GF(2^2)\) reduziert, was der Kongruenz \(x^2 + x + 1 \equiv 0\;(\text{mod}\;2)\) entspricht, so gestatten die fünf Kollineationen eine Darstellung in einer endlichen Geometrie mit 85 Punkten, 85 Ebenen, 357 Geraden (vgl. \textit{J. S. Frame}, Bull. Amer. math. Soc. 44 (1938), 658-661; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 697); die kubische Fläche \(z_0^3+z_1^3+z_2^3+z_3^3=0\) dieser Geometrie enthält 45 Punkte und 27 Geraden und gestattet eine automorphe Kollineationsgruppe, welche zusammen mit der imaginär-konjugierten Gruppe zu der ursprünglichen \(G_{51480}\) einstufig isomorph ist. Im \S~9 werden schließlich noch einige Beziehungen gefunden, die die nicht-isotropen Ebenen der oben genannten endlichen Geometrie mit den 240 Ecken eines Polytops des Raumes \(S_8\) verbinden.