Contributi alla geometria projettiva complessa. (Q2588069)

Die komplexe und hyperkomplexe projektive Geometrie von v. Staudt, Juel und C. Segre, die von Villa, Spampinato, Cartan und anderen auf algebraischem, funktionentheoretischem und metrischem Wege erweitert worden ist, wird vom Verf. im Sinne der Differentialgeometrie entwickelt. Die Punkte \((x_0, x_1, x_2)\) und die Geraden \((u_0, u_1, u_2)\) der projektiven Ebene \(P_{\text{IV}}\) (die als reelles Gebilde vier Dimensionen hat), werden auf 3-Vektoren \(X = (\varrho x_0, \varrho x_1, \varrho x_2)\), \(U = (\varrho u_0, \varrho u_1, \varrho u_2)\) abgebildet (die bis auf einen skalaren Faktor \(\varrho\) bestimmt sind). In diesem Vektorraum erhalten die Staudtschen Ketten \(C_r\) (\(r=\) I, II, III reelle Dimension der Kette) eine unmittelbare Bedeutung mit einem Hinweis auf ihre projektive Klassifikation. Für eine \(V_{\text{II}}\), mit Parameterdarstellung \(X = X(\lambda,\mu)\), wo \(\lambda,\mu\) reell sind, wird eine kubische reelle projektiv invariante Differentialform \(\varGamma = \alpha_2d\lambda^3 + 3\beta_2d\lambda^2d\mu 3\beta_1d\lambda d\mu^2 -\gamma_1d\mu^3\) gefunden, die nur von den zweiten Ableitungen der Koordinaten abhängt, während die bekannte kubische Grundform für allgemeine reelle Flächen von den dritten Ableitungen abhängt. Die Tangenten der \(V_{\text{II}}\) in einem Punkt \(X\) bilden eine \(C_{\text{I}}\)-Kette, und deren Punkte bilden folglich eine \(C_{\text{III}}\)-Kette. Diese und die beiden \(C_{\text{III}}\)-Ketten in den unendlich nahen Punkten \(X + X_\lambda d\lambda\), \(X+X_\mu d\mu\) haben drei \(C_{\text{I}}\) gemeinsam, die mit der kubischen Grundform eng zusammenhängen.