Sulle curve eccezionali riducibili di prima specie. (Q2588103)

\textit{S. F. Barber} und \textit{O. Zariski} haben die reduziblen ausgezeichneten Kurven 1. Art auf einer algebraischen Fläche untersucht (Amer. J. Math. 57 (1935), 119-141; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 707); ist \(\varOmega\) eine solche Kurve, so entsprechen ihre Bestandteile \(\omega_0, \omega_1, \ldots \!, \omega_s\) einem einfachen Punkt \(O\), dem andere Punkte \(O_i\) \((i=0,1, \ldots \!, s)\) benachbart liegen; man kann schreiben: \(\varOmega=h_0\omega_0+h_1\omega_1+\cdots + h_s\omega_s\), wo \(h_i\), die niedrigste Ordnung eines Zweiges bedeutet, der die Punkte \(O,O_1, \ldots \!, O_i\) enthält. Die Darstellung bedient sich hier und weiterhin des Begriffes der benachbarten Punkte. Die Kurven \(\omega_0, \omega_1, \ldots \!, \omega_s\) gehören dem kanonischen Linearsystem der Fläche an, mit gewissen Multiplizitäten \(k_0,k_1, \ldots \!, k_s\); Zweck der Arbeit ist die Bestimmung der Zahlen \(k_i\). Um den Wert von \(k_i\) zu erhalten, muß man den Zweig niedrigster Ordnung betrachten, der die Punkte \(O,O_1, \ldots \!, O_i\) enthält; \(k_i\) ist dann gleich der Summe der Multiplizitäten dieses Zweiges in allen Punkten \(O,O_1, \ldots \!, O_i\). Anders ausgedrückt: Die ausgezeichnete reduzible Kurve \(\varOmega\) enthält \(s\) andere ausgezeichnete Kurven \(\varOmega^{(1)}, \varOmega^{(2)}, \ldots \!, \varOmega^{(s)}\), die bzw. aus den Bestandteilen \(\omega_1, \ldots \!, \omega_s\); \(\omega_2, \ldots \!, \omega_s\); \(\ldots\); \(\omega_s\) bestehen (mit gewissen Multiplizitäten). Nun ist \(k_i\) gleich der Summe der Multiplizitäten der Kurve \(\omega_i\) als Bestandteil von \(\varOmega, \varOmega^{(1)}, \ldots \!, \varOmega^{(i)}\); es geht also alles so, als ob \(\varOmega, \varOmega^{(1)}, \ldots \!, \varOmega^{(s)}\) feste unabhängige Bestandteile des kanonischen Systems wären. Es folgt noch die Bestimmung des Geschlechts und des Grades von \(\varOmega\).