Caratterizzazione topologica delle superficie razionali e delle rigate. (Q2588111)

Da eine rationale Kurve keine Moduln besitzt, sind alle Kurven birational äquivalent, deren Riemannsche Fläche vom Geschlecht Null ist. Die entsprechende Kennzeichnung der zu rationalen oder halbrationalen Flächen gehörigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist wesentlich schwieriger, weil dabei neben den Geschlechtszahlen auch arithmetische Eigenschaften, nämlich die Basiszahl der Fläche, eine Rolle spielen. Für die Riemannsche Mannigfaltigkeit \(\mathfrak{R}\) einer algebraischen Fläche \(F\) bedeute \(R > 0\) die zweidimensionale Zusammenhangszahl, \(\varrho \geqq 1\) die Zahl der unabhängigen algebraischen, \(\varrho_0=R-\varrho\) die der unabhängigen transzendenten zweidimensionalen Zykel. Läßt man birationale Abbildungen von \(F\) zu, so nehmen \(R\) und \(\varrho\) ihr Minimum bei einer \(F\) an, die frei von ausgezeichneten Kurven ist bzw. keine weiter eliminierbare solche Kurven enthält; auf dieses Minimalmodell bezieht sich das Folgende. Für eine rationale \(F\) ist \(R = \varrho = 1\), \(\varrho_0 = 0\), \(q = p_g - p_a = 0\) und die Torsion Null; sucht man umgekehrt Flächen mit diesen Charakteren, so kommt es auf die aus einem einzigen Zykel \(C\) gebildete Minimalbasis der zweidimensionalen Zykel an; ist \(C\) eine effektive Kurve, so folgt leicht das Verschwinden aller Geschlechter, also die Rationalität von \(F\); ist \(C\) virtuell, so ist der Fall \(C' \equiv 4C\) denkbar, der zu einer irrationalen Fläche mit \(P_2 \geqq 10\) führen würde. Daher ist die Riemannsche Mannigfaltigkeit \(\mathfrak{R}\) einer Ebene durch folgende vier Eigenschaften gekennzeichnet: 1) Lineare Zusammenhangszahl 0, 2) Torsion 0, 3) \(R = 1, 4\)) jeder zweidimensionale Zykel ist zusammenhängend, oder, was dasselbe ist, \(\mathfrak{R}\) enthält einen einfach zusammenhängenden Zykel vom virtuellen Grad 1. Die zu einer beliebigen rationalen \(F\) gehörige \(\mathfrak{R}\) kann durch reelle birationale Transformationen in die \(\mathfrak{R}\) einer Ebene übergeführt werden. Für eine Regelfläche des Geschlechts \(p = - p_a > 0\) ist die lineare Zusammenhangszahl bekanntlich \(2p\), \(R = 2\), woraus \(p_g = \varrho_0 = 0\), \(\varrho = 2\) folgt. Umgekehrt genügen diese Angaben, falls \(p > 1\) ist, zur Kennzeichnung der \(\mathfrak{R}\) einer Regelfläche des Geschlechts \(p\), insbesondere folgt das Verschwinden der topologischen Torsion. Für \(p=1\) reicht dies wegen der Existenz elliptischer Flächen mit \(p_a = - 1\), \(p_g = 0\), \(R = \varrho = 2\), \(\varrho_0 = 0\) nicht aus; es gilt aber: die \(\mathfrak{R}\) einer elliptischen Regelfläche ist durch folgende drei Eigenschaften gekennzeichnet: 1) Lineare Zusammenhangszahl 2, 2) R = 2, 3) es existiert ein einfachzusammenhängender zweidimensionaler Zykel auf \(\mathfrak{R}\). Speziell folgt hieraus wieder das Verschwinden der Torsion.