Intorno ad un classico problema di unisecanti. (Q2588112)

Die Rationalität einer algebraischen Fläche, die ein rationales Büschel rationaler Kurven enthält, wird nach M. Noether durch folgenden Satz begründet: Auf einer Fläche der Ordnung \(n\) mit einer \((n - 2)\)-fachen Geraden \(r\), die also \(\infty^1\) Kegelschnitte in den Ebenen durch \(r\) enthält, gibt es immer Kurven, die jene \(\infty^1\) Kegelschnitte je einmal schneiden. Der Beweis dieses Satzes wird hier in elementarer Weise folgendermaßen durchgeführt: Angenommen, die gegebene Fläche \(F\) habe die Gleichung: \[ a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0, \tag{1} \] wobei die Koeffizienten \(a_{ij}\) Polynome in \(z\) bedeuten; die Kegelschnitte des auf \(F\) liegenden Büschels sind in den Ebenen \(z =\) konst. enthalten. Den trivialen Fall ausgenommen, wo einer der unendlichfernen Punkte des Kegelschnitts (1) rational abgesondert werden kann (sei er fest oder veränderlich), handelt es sich um die Lösung der Gleichung (1) durch ein Paar rationaler Funktionen: \[ x=\varphi(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}, \quad y=\psi(z)=\frac{R(z)}{Q(z)}. \tag{2} \] Diese Lösung ist unmittelbar erhältlich, falls (1) in \(x\) oder \(y\) linear ist, z. B. in \(x\); in diesem Falle kann man \(\psi(z)\) nach Belieben wählen. Dasselbe gilt, wenn alle Kegelschnitte (1) Parabeln sind; man hat dann nur (1) mit der Geraden \(y=-\dfrac{a_{12}}{a_{11}}x+q\) zu schneiden, wobei \(q\) eine beliebige rationale Funktion von \(z\) ist. Im allgemeinen Falle bringt man (1) auf die Form: \[ y^2=A(z)x^2+B(z) \tag{3} \] durch eine geeignete lineare Transformation der Veränderlichen \(x\), \(y\) mit Polynomen in \(z\) als Koeffizienten; diese Transformation führt \(F\) in eine ähnliche und birational äquivalente Fläche über; wir nennen diese wieder F. Man kann annehmen, daß in \(A\) und \(B\) keine quadratischen Faktoren erscheinen; andernfalls lassen sich solche durch eine neue birationale Transformation von \(F\) eliminieren. Aus (2), (3) erhält man dann: \[ AP^2+BQ^2=R^2; \tag{4} \] die Existenz von Polynomen \(P\), \(Q\), \(R\), die diese Bedingung bei gegebenen \(A\), \(B\) erfüllen, folgt aus einer einfachen Konstantenabzählung. Es bleibt die wirkliche Ausrechnung von \(P\), \(Q\), \(R\) übrig. Es seien \(m\), \(n\) die Grade von \(A\), \(B\), und es sei \(m \geqq n\). Man sucht zunächst ein Polynom \(W\), so daß \(W^2 \equiv B\, (\text{mod } A)\); zu diesem Zweck hat man die algebraische Gleichung \(A(z) = 0\) aufzulösen; sind \(a_i\) ihre Wurzeln, die alle einfach sind, so muß \(W(a_i)=\sqrt{B(a_i)}\) sein, so daß \(W\) durch Interpolation als ein Polynom eines Grades \(\leqq m - 1\) bestimmt werden kann. Setzt man dann \(W^2 - B = A A_1\), so ist der Grad von \(A_1\) nicht größer als \(m - 2\). Die Transformation \[ P=A_1 P_1, \quad Q=WQ_1-R_1, \quad R=-BQ_1+WR_1 \] reduziert dann die Gleichung (4) auf die Form \[ A_1 \, P_1^2 + PQ_1^2=R_1^2, \] wo der Koeffizient \(A_1\) von \(P_1^2\) einen niedrigeren Grad hat. Die Wiederholung dieses Reduktionsverfahrens führt schließlich, nach einer endlichen Anzahl \(i\) von Schritten, auf die Gleichung \[ P_i^2+BQ_i^2=R_i^2, \] welche gibt: \[ P_i=B-M^2, \quad Q_i=2M, \quad R_i=B+M^2; \] das Polynom \(M\) bleibt willkürlich. Dieses Verfahren erinnert an die Lösung der Gleichung (1) im Ring der ganzen Zahlen, wenn die \(a_{ij}\) ganze Zahlen bedeuten; der Ring der ganzen Zahlen läßt sich also in diesem Falle durch den Ring der Polynome \(K (z)\) mit komplexen Koeffizienten ersetzen. Es ist bemerkenswert, daß \(A\), \(B\) keine Bedingung erfüllen müssen, damit \(W\) existiert.