Una notevole scomposizione dei tensori. (Q2588153)

In Verallgemeinerung eines Ergebnisses, das für den elementaren Fall \(r = 2\) von \textit{G. Biggiogero} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 17 (1933), 611-616; JFM 59.0720.*) und später von \textit{G. Oberti} (Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. mat. natur. 69 (1936), 397-402; JFM 62.0899.*) gefunden wurde, entwickelt Verf. für einen beliebigen Tensor \(T_{j_1,\ldots j_r}\) \(r\)-ter Stufe im gewöhnlichen \(R_3\) eine eindeutige Zerlegung als Summe eines, falls \(r = 2m\), isotropen, und falls \(r = 2m + 1\), halbisotropen Tensors einerseits und eines zweiten Tensors \(T^{\prime}_{j_1\ldots j_r}\) andererseits, für den nach der Bezeichnung des Verf. alle linearen Invarianten bzw. alle linearen Halbinvarianten verschwinden. Für \(E_{i_1k_1\,i_2k_2\cdots i_mk_m}\) sind die linearen Invarianten die Summen \(\sum E_{i_1k_1\cdots i_mk_m}\varDelta^{(s)}_{(i_1k_1\cdots i_mk_m)}\), worin, \(\varDelta^{(s)}_{(i_1k_1\cdots i_mk_m)}\) einen beliebigen Isomer von \(\delta_{i_1k_1} \delta_{i_2k_2}\cdots\delta_{i_mk_m}\) bezeichnet und die Summe über die \(N = \sum\limits_{k=0}^m\bigg[\dbinom{2m}{2k}-\dfrac12 \dbinom{2m}{2k-1}\bigg] \dbinom{2k}{k}\) untereinander linear unabhängigen Isomeren zu erstrecken ist. Für \(E_{ihli_1k_1i_2k_2\cdots i_{m-1}k_{m-1}}\) sind die linearen Halbinvarianten relative Skalare vom Gewichte \(-1\), nämlich die Summen \[ \sum E_{ihli_1k_1i_2k_2\cdots i_{m-1}k_{m-1}} \varDelta^{(s)}_{(ihli_1k_1\cdots i_{m-1}k_{m-1})}, \] wo \(\varDelta^{(s)}_{(ihli_1k_1\cdots i_{m-1}k_{m-1})}\) einen beliebigen Isomer von \(\varepsilon_{ihl}\delta_{i_1k_1} \delta_{i_2k_2}\cdots \delta_{i_{m-1}k_{m-1}}\) bezeichnet und \(\delta_{ih}= \begin{cases} 1\\ 0 \end{cases} \;\text{für} \begin{matrix} i=h\\ i\neq h\\ \end{matrix}\;\text{und}\;\varepsilon_{ihk}= \pm 1\) ist, je nachdem \(ihk\) eine direkte oder inverse Permutation der Zahlen 1, 2, 3 bezeichnet, und sonst durch \(O\) zu ersetzen ist. Mit dieser Arbeit hängen zwei neue Untersuchungen des Verf. zusammen (vgl. die vorstehenden Besprechungen).