On some osculating figures of a plane curve, and on sections of a surface by planes passing through a fixed tangent. (Q2588167)

Gegeben sei die ebene Kurve (\(M\)), auf ihr der Punkt \(M\), der nicht Wendepunkt sein möge. Der Punkt \(Z_n\) gehe aus dem zu \(M\) gehörigen Krümmungsmittelpunkt der Kurve durch eine Ähnlichkeitstransformation mit dem Zentrum \(M\) und dem Abbildungsmaßstab \(n:1\) hervor. Endlich sei (\(Z_n\)) der Kreis um \(Z_n\), der die Kurve (\(M\)) in \(M\) berührt, und \(P_n\) ein Punkt der Hüllkurve dieser Berührungskreise (\(Z_n\)). Verf. zeigt, daß der Punkt \(P_n\) bei veränderlichem \(n\) eine zirkuläre Kurve 3. Ordnung \(C\) beschreibt, deren Eigenschaften dann im Einzelnen untersucht werden. \(M\) ist ein Doppelpunkt der Kurve \(C\), deren Tangenten in \(M\) mit Tangente und Normale von (\(M\)) zusammenfallen. Der Pol der Schmiegungsspirale, die die Kurve (\(M\)) in \(M\) von 4. Ordnung berührt, ist der Punkt \(P_{\frac12}\) von \(C\). Die reelle Asymptote von \(C\) geht durch den Punkt, der zu \(P_{\frac12}\) bzgl. \(M\) symmetrisch liegt, und bildet mit der Geraden \(MP_{\frac12}\) und der Normalen von (\(M\)) in \(M\) ein gleichschenkliges Dreieck. Die drei auf einer Geraden liegenden Wendepunkte von \(C\) und die zum Doppelpunkt \(M\) von \(C\) gehörigen Krümmungsmittelpunkte lassen sich durch Ähnlichkeitstransformationen bestimmen. Auf \(C\) liegen ferner der Brennpunkt (\(P_{\frac14}\)) der Schmiegungsparabel von (\(M\)), der Mittelpunkt (\(P_{\-\frac12}\)) der gleichseitigen Schmiegungshyperbel, der Doppelpunkt (\(P_{\frac32}\)) der Schmiegungslemniskate und die Spitze (\(P_{\frac34}\)) der Schmiegungskardioide. Verf. untersucht dann weiter folgende Schmiegungsgebilde der gegebenen Kurve: 1) die sog. Doppelspiralen, das sind die isogonalen Trajektorien einer Kreisschar durch zwei feste Punkte (Satz über den geometrischen Ort der Mittelpunkte dieser Schmiegkurven); 2) die isogonalen Trajektorien konfokaler Kegelschnitte (Sätze über den geometrischen Ort des Mittelpunktes und der Pole); 3) die isogonalen Trajektorien konfokaler Cassinischer Ovale (Sätze über geometrische Örter bzw. Hüllkurven besonderer Punkte und Geraden); 4) Zykloiden, Hypozykloiden und Epizykloiden (verschiedene Sätze über den geometrischen Ort der Mittelpunkte und über die Hüllkurven gewisser Kreise und Geraden, die mit den Schmiegungskurven zusammenhängen); 5) Schleppkurven und Kettenlinien (Satz über die Hüllkurve der Asymptote einer Schmiegungsschleppkurve, Satz über die Lage der Leitlinie einer Schmiegungskettenlinie). Schließlich wendet Verf. diese Ergebnisse auf die ebenen Schnitte einer beliebigen Fläche an. Wenn sich die schneidende Ebene um die nicht asymptotische Tangente der Fläche dreht, so erzeugen die besonderen Punkte bzw. Geraden der Schmiegungskurven jener ebenen Schnitte einfache geometrische Gebilde. Z. B. beschreiben die Basisgerade einer Schmiegungszykloide, die Leitgerade einer Schmiegungskettenlinie und die Gerade, auf der die Wendepunkte der zirkularen Kurve \(C\) liegen, je eine \(F_2\), die Mittelpunkte der oskulierenden Hypo- und Epizykloiden eine Ellipse usw. Man vergleiche auch die folgenden Arbeiten des Verf.: Sci. Rep. Tôhoku Univ. I 28 (1940); 319-333, 334-349, 350-369; Japan. J. Math. 16 (1940), 177-232; Tôhoku math. J. 47 (1940); 24-34, 58-68,74-76; F. d. M. 66; 819, 824, 825, 839, 843, 859).