Determinazione d'una curva nello spazio euclideo complesso di \(n\) dimensioni. (Q2588179)

Die Elemente \(a_{\nu\nu} = A_\nu\) in der Hauptdiagonale der Determinante \(A = | a_{\mu\nu} |\), \(\mu, \nu = 1,2,\ldots,n\), als analytische Funktionen eines komplexen Kurvenparameters \(t\), sind charakteristische Invarianten einer analytischen Kurve des \(n\)-dimensionalen komplexen euklidischen Raumes, wenn unter der Voraussetzung \(A \not\equiv 0\{t\}\) für die Elemente \(a_{\mu\nu}\) die folgenden Relationen bestehen: \[ \underline{x}^{(\mu)}\underline{x}^{(\nu)} = a_{\mu\nu}= a_{\nu\mu};\;\mu, \nu = 1, 2,\ldots, n, \] worin \(\underline{x}^{(\mu)}\underline{x}^{(\nu)}\) die Skalarprodukte der \(\mu\)-ten und \(\nu\)-ten Ableitungen des Kurvenvektors \(\underline{x}= \underline{x}(t)\) bedeuten (Satz von C. Guichard). Für die Ableitung \(\underline{x}^{(n+1)}\) gilt: \[ \underline{x}^{(n+1)} = \sum_{\nu=1}^n b_\nu\underline{x}^{(\nu)};\quad a_{\mu,n+1} = \sum_{\nu=1}^n b_\nu a_{\mu\nu}; \mu = 1, 2,\ldots, n. \] Schreibt man \(x_\lambda, x_\lambda', x_\lambda'',\ldots, x_\lambda^{(n)}\) für \(t = t_0\) willkürlich vor, so sind zufolge dieser ``Frenetformel'' die Funktionen \(x_\lambda(t)\) (Komponenten von \(\underline{x}(t)\)) eindeutig bestimmbar. Sodann besteht: \[ a_{\mu\nu}(t_0) = \sum_{\lambda=1}^n x_\lambda^{(\mu)}(t_0) x_\lambda^{(\nu)}(t_0) \quad (\mu, \nu= 1, 2,\ldots, n). \] Andererseits gewinnt Verf. für die Skalarprodukte \(\underline{x}^{(\mu)}\cdot\underline{x}^{(\nu)}\) die Darstellung \[ \underline{x}^{(\mu)}\underline{x}^{(\nu)} = a_{\mu\nu} + \sum\limits_{\lambda=0}^{\left[\tfrac{\nu-\mu}2\right]} \beta_{\lambda,\nu-\mu}v^{(\nu-\mu-2\lambda)}_{\mu+\lambda}, \] worin \(\beta_{\lambda,\nu-\mu}\) rationale Zahlen bedeuten und die Größen \(v^{(\nu-\mu-2\lambda)}_{\mu+\lambda}\) durch sukzessive Differentiation der Relationen \[ \underline{x}^{(\nu)^2} - A_\nu = v_\nu,\quad \nu = 1,2,\ldots,n \] entstehen. Nach Voraussetzung verschwinden diese Größen für \(t = t_0\). Indessen gilt dieser Sachverhalt identisch in \(t\) in einer Umgebung von \(t = t_0\), wie Verf. zeigt. Somit verschwinden alle \(v_\nu\), und es gilt \(\underline{x}^{(\nu)^2}= A_\nu\). Damit ist der Satz von C. Guichard neuerlich bestätigt, sofern zwischen den Größen \(\beta_{\lambda,\nu-\mu}\) und \(A_{\mu+\lambda}\) die Relationen \[ a_{\mu\nu}=\sum\limits_{\lambda=0}^{\left[\tfrac{\nu-\mu}2\right]} \beta_{\lambda,\nu-\mu}A^{(\nu-\mu-2\lambda)}_{\mu+\lambda} \] bestehen. (Vgl. \textit{J. Lense}, Über Kurven mit isotropen Normalen, Math. Ann., Berlin, 112 (1935), 139-154; JFM 61.0737.*).