Konkavität oder Konvexität bezüglich eines Punktes in einem Flächenpunkte. (Q2588182)

\(P\) sei ein (elliptischer oder parabolischer) regulärer Punkt der Fläche \(F\), dessen volle Umgebung ganz auf einer Seite seiner Berührungsebene \(\tau\) liegt. Bezüglich eines (nicht auf \(\tau\) liegenden) Punktes \(O\) heißt dann \(F\) in \(P\) konkav oder konvex, je nachdem \(O\) und die Flächenumgebung von \(P\) auf gleichen oder entgegengesetzten Seiten von \(\tau\) liegen. Ist \(O\) Anfangspunkt und auf \(F: z = f(x, y)\), so lautet der analytische Ausdruck hierfür \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \bigg(z-\dfrac{\partial f}{\partial x}x\dfrac{\partial f}{\partial y}y \bigg)<0\quad\text{bzw.}\quad >0 \] unter der Annahme \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\neq 0\). Es folgen Beispiele und eine allgemeine Ableitung der Bedingung in Vektorform. (für die Konkavität oder Konvexität bezüglich einer Ebene vgl. Teil I, Boll. Mat., Firenze, (3) 1 (1939), 93-95; F. d. M. 65, 745 (JFM 65.0745.*).)