On the theory of curves in affine space. (Q2588234)

Zusammenfassende Behandlung einiger Sonderfragen. 1) Das Cesaròsche Problem: Welche Geraden, die mit dem Hauptdreikant einer Kurve affininvariant verbunden sind, beschreiben Torsen, wenn das Dreikant längs der Kurve entlanggleitet? Die Bedingung dafür ist: (1) \(Ak + Bt + C = 0\). (In der metrischen Geometrie ist die Bedingung für das entsprechende Problem bekanntlich eine Gleichung zweiten Grades zwischen Krümmung und Windung.) Für eine beliebige Kurve haben also die Geraden, die den Werten \(A = B = C = 0\) entsprechen, diese Eigenschaft; sie bilden eine Linienkongruenz vierten Grades. Für Kurven, deren Affinkrümmung und -windung einer linearen Gleichung (1) genügen, kommen weitere Geraden hinzu, insbesondere für Kurven \(k =\) konst. die Erzeugenden eines Kegels, dessen Spitze im Kurvenpunkte liegt. 2) Für die Winternitzsche Affinbinormale wird mit Hilfe der parabolischen Schmiegungszylinder eine neue geometrische Deutung gegeben. 3) Die Gleichungen der Schmiegungsgewinde für die Affinhauptnormalen- und Affinbinormalenflachen und die Eigenschaften der Laneschen ``Komplexpunkte'' auf diesen. 4) Die Wendeknotenlinie auf den Affinbinonnalenflächen; für \(k =\) konst. ist dies die Kurve selbst. 5) Die Schmiegungs-\(F_2\) der Affinbinormalenflächen; für \(k = ts + c\) sind sie hyperbolische Paraboloide.