Sopra il contatto di due curve piane. (Q2588236)

\(C, \overline{C}\) seien zwei ebene Kurven, die in dem einfachen (nicht Wende-) Punkte \(O\) eine Berührung \(k(> 1)\)-ter Ordnung eingehen mit der gemeinsamen Tangente \(t\). Betrachtet man eine verschiebbare, in der Grenze durch \(O\) gehende, aber nicht mit \(t\) zusammenfallende Gerade \(r\), und seien \(P, \overline{P}, T\) ihre Schnittpunkte mit \(C, \overline{C}, t\) in der Nähe von \(O, M \neq O\) ein weiterer Punkt auf \(r\), so erhält man durch die Forderung, daß in der Entwicklung von \(\log D\), wo \(D\) das Doppelverhältnis \((P, \overline{P}, T, M)\) bezeichnet, die Glieder \(k\)-ter Ordnung verschwinden sollen, in der Grenze durch \(O\) gehende Geraden \(r_0^{(k)}\), die schon von \textit{Bompiani} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 3 (1925), 118-123; F. d. M. 52, 687 (JFM 52.0687.*)) untersucht wurden. Verf. entwickelt in den Fällen \(k = 2, 3, 4\) projektive Konstruktionen dieser Geraden; z. B. für \(k = 3\) betrachtet man in \(O\) die \(C\) und \(\overline{C}\) fünfpunktig berührenden Kegelschnitte \(C_2\) und \(\overline{C}_2\), ferner zwei \(C\) und \(\overline{C}\) je sechspunktig in \(O\) berührende Kurven 3. Ordnung \(C_3\), \(\overline{C}_3\), deren außerhalb \(O\) liegende Schnittpunkte \(Q\), \(\overline{Q}\) mit \(t\) den Punkt \(O\) und einen weiteren festen Punkt \(I\) auf \(t\) harmonisch trennen, und bildet die Polargerade von \(t\) bezüglich der Geradenvier, die \(O\) mit den Schnittpunkten von \(C_3\) und \(\overline{C}_2\), \(C_2\) und \(\overline{C}_3\) verbindet; diese Gerade ist \(r_0^{(3)}\). Verf. ist irrtümlicherweise der Meinung, in diesen Geraden \(r_0^{(2)},\ldots, r^{(4)}_0\) zu \(C, \overline{C}\) in \(O\) projektiv-kovariante Geraden gefunden zu haben; vgl. nachstehendes Referat.