The Euler number of a Riemann manifold. (Q2588330)

Für das Integral der Gaußschen Krümmung \(K\) einer geschlossenen Riemannschen Fläche gilt bekanntlich die Regel \(\int K\,dO=2\pi N\), wo das Integral über die Fläche erstreckt wird und \(N\) die Eulersche Zahl der Fläche ist. Die entsprechende Gleichung \(\int\limits_{R_n}K\,dO=\dfrac{\omega _n}{2}N\) für eine \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit \(R_{n}\), wo \(\omega _n\) die Oberfläche der \((n + 1)\)-dimensionalen Einheitskugel darstellt und \(K\) die Totalkrümmung ist, gilt bekanntlich nicht immer, wenn \(n\) ungerade ist (\textit{H. Hopf}, Math. Ann. 95 (1925), 340-367; F. d. M. 61, 566 (JFM 61.0566.*)); bei geradem \(n\) war sie bisher nur für Hyperflächen bewiesen. Verf. beweist den Satz für alle \(R_{n}\) mit geradem \(n\), die sich in einen Euklidischen Raum einbetten lassen. Beweishilfsmittel ist die Weylsche Theorie der verallgemeinerten Kanalflächen (Tubes) (\textit{H. Weyl}, On the volume of tubes, Amer. J. Math. 61 (1939), 461-472; F. d. M. 65, 796 (JFM 65.0796.*)), auf welche ein Integralsatz Kroneckers über den Abbildungsindex angewandt wird.