Die Differentialgeometrie höherer Ordnung. II. Über die \(n\)-dimensionalen metrischen Räume mit vom \(m\)-dimensionalen Flächenelement abhängigem Zusammenhang. (Q2588349)

Verf. beschäftigt sich hier (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) mit gewissen Räumen, die, als eine Verallgemeinerung der Finslerschen Räume, Gegenstand einer großen Menge von Untersuchungen sind. Vgl. bes. \textit{É. Cartan} (Les espaces de Finsler: Actual. sci. industr. 79 (1934); JFM 60.0648.*), und für den allgemeinen Fall \textit{A. Kawaguchi} (Mh. Math. Physik 43 (1936), 289-297; JFM 62.0872.*). Es handelt sich um Räume mit einer Metrik und außerdem mit einem (in bezug auf diese Metrik) metrischen \textit{Zusammenhang}, die von einem veränderlichen \(m\)-dimensionalen Flächenelement \(\bigl(x^i, p_\alpha ^i\bigr)\) (\(i\), \(j\), \(k = 1\),\dots , \(n\); \(\alpha \), \(\gamma =1\),\dots, \(m\); \(m < n\)) abhängig sind. Die \(nm\) Parameter \(p_\alpha ^i\) werden mit den Ableitungen \(\dfrac{\partial x^i}{\partial u^\alpha }\) identifiziert, wobei \(x^i=x^i\bigl(u^{\dot 1}, u^{\dot 2},\dots, u^{\dot m}\bigr)\) die Parameterdarstellung einer \(m\)-dimensionalen Fläche ist, die das Flächenelement \(\bigl(x^i, p_\alpha ^i\bigr)\) berührt. Zuerst führt Verf. ein System von ``Grundfunktionen'' \(L_{\alpha \beta }(x, p, u)\) ein, die in jedem \(m\)-dimensionalen Flächenelement \(\bigl(x^i, p_\alpha ^i\bigr)\) eine euklidische Maßbestimmung definieren. Dann führt er den Fundamentaltensor \(g_{ij}(x, p, u)\) in der \(X_{n}\) und sechs von vornherein unabhängige Übertragungsparametersysteme ein, die das kovariante Differential eines gewöhnlichen Vektors oder eines \(u\)-Vektors ermitteln: \[ \begin{alignedat}{2} &Dv^i&&=dv^i+\varGamma _{jk}^i(x, p, u)\,v^j\,dx^k+ C^{\alpha i}_{\,.\,.\,kh}(x, p, u)\,v^k\,dp_\alpha ^h+T_{j\alpha }^i(x, p, u)\,v^j\,du^\alpha,\\ &Dw_\alpha &&=dw_\alpha -\varPi _{\alpha k}^\beta w_\beta \,dx^k-P_{\alpha \,.\,.\,k}^{\,.\,\beta \gamma }w_\beta \, dp_\gamma ^k-\varSigma _{\alpha \gamma }^\beta w_\beta \,du^\gamma .\end{alignedat} \] Die Größen \(L_{\alpha \beta }\), \(C_{\,.\,.\,kh}^{\alpha i}\), \(T_{j\alpha }^i\), \(P_{\alpha\; .\,.\,k}^{\,.\,\beta \gamma }\) sollen in bezug auf ihre sämtlichen Indizes als \textit{Tensoren} angenommen werden. Die bisher genannten, Metrik und Übertragung bestimmenden Größen werden gewissen Bedingungen unterworfen. Schon in der oben erwähnten Arbeit hatte Verf. deswegen einige (13) Forderungen gestellt; eine derselben (nämlich IV, a. a. O. S. 291) wird hier weggelassen, wodurch die Theorie in eine bequemere und vollständigere Gestalt gebracht wird. Infolge der übrig bleibenden Forderungen wird zuerst der Fundamentaltensor \(g_{ij}\) in der \(X_{n}\) aus den Grundfunktionen \(L_{\alpha \beta }\) und dem ``charakteristischen Tensor'' \(K_{il}=p_\alpha ^j\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial p_\alpha ^l}\) (der beliebig gewählt werden kann) eindeutig bestimmt. Dann hat man \[ C^\alpha _{\,.\,ijk}\,\bigl(=g_{il}C_{\,.\,.\,jk}^{\alpha l}\bigr)=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial p_\alpha ^k},\;\;T_{ij\alpha }=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^\alpha };\;\;\varPi _{\alpha \beta k}=\frac{1}{2}\frac{\partial L_{\alpha \beta }}{\partial x^k},\;\;P_{\alpha \beta \,.\,k}^{\,.\,.\,\gamma }=\frac{1}{2}\frac{\partial L_{\alpha \beta }}{\partial p_\gamma ^k}, \] und ferner werden auch die Parameter \(\varGamma _{jk}^i\) und \(\varSigma _{\alpha \gamma }^\beta \) durch weniger einfache Formeln mittels \(L_{\alpha \beta }\) und \(K_{il}\) allein ausgedrückt. Verf. konstruiert für den so erreichten Zusammenhang die \textit{Torsions}- und \textit{Krümmungs}tensoren. Zu den vier Torsionstensoren zählt man auch die schon erwähnten Tensoren \(C^{\alpha i}_{\,.\,.\,kh}\), \(P^{\,.\,\beta \gamma }_{\alpha \,.\,.\,k}\); von den Krümmungstensoren gibt es zwei Reihen von je sechs Tensoren. Es gibt für diese Tensoren zu den Riccischen und Bianchischen analoge Identitäten. Ferner fügt Verf. eine Bemerkung über die Beziehungen hinzu, die den untersuchten Raum mit dem \(n\)-dimensionalen metrischen Raum verknüpfen, der von einem \(m\)-fachen Integral \[ \textstyle \int\limits_{(m)}\mathfrak L\bigl(x^j, p_\alpha ^j\bigr)\,du^{\dot 1}\,du^{\dot 2}\cdots du^{\dot m} \] bestimmt wird, indem wir dieses Integral als \(m\)-dimensionalen Flächeninhalt eines vorgegebenen Bereiches einer \(m\)-dimensionalen Fläche \(x^i=x^i(u^{\dot 1}, u^{\dot 2},\dots, u^{\dot m})\) auffassen. Solch ein Raum wurde zuerst von \textit{É. Cartan} für \(m = 2\), \(n = 3\) (Les espaces métriques fondés sur la notion d'aire; Actual. sci. industr. 72 (1933); JFM 59.1346.*), neuerdings vom Verf. und \textit{S. Hokari} für den Fall \(m = 2\), \(n = 5\) und dann auch für beliebige \(n\) und \(m\) untersucht (vgl. die oben besprochenen Arbeiten).