On some properties of umbilical points of hypersurfaces. (Q2588369)

\(g_{\lambda \mu }\), \(g_{ab}\), \(N_{ab}\), \(N^\nu \) seien beziehungsweise der metrische Tensor einer \(V_{n+1}\), der metrische Tensor einer \(V_{n}\) in \(V_{n+1}\), ihr zweiter Fundamentaltensor und ihr Normaleneinheitsvektor. Dann genügt eine Krümmungslinie von \(V_{n}\) der Gleichung \(M^i_j\dot x_j=\varrho \dot x_i(t)\) mit \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill M_{ij}=N_{ij}-\frac{1}{n}g_{ij}\,N_{ab}g^{ab}.\hfill} \] Ein Punkt der \(V_n\) heißt vollkommener Nabelpunkt, wenn durch den Punkt in jeder Richtung eine Krümmungslinie geht. Differenziert man (*) nach \(t\), so erhält man leicht, daß der Weylsche konforme Krümmungstensor der \(V_{n+1}\) in einem Punkt verschwindet, wenn es zu diesem Punkt in jeder \((n)\)-Richtung eine Hyperfläche \(V_{n}\) gibt, für die dieser Punkt vollkommener Nabelpunkt ist. Eine weitere Anwendung der Ableitung von (*) wird für eine konform ebene \(V_{n+1}\) gegeben.