Concircular geometry. I. Concircular transformations. II. Integrability conditions of \(\varrho _{\mu \nu }=\varPhi g_{\mu \nu }\). III. Theory of curves. IV. Theory of subspaces. (Q2588370)

In diesen vier Arbeiten wird die konforme Geometrie der \(V_{n}\) behandelt unter Einschränkung der konformen Transformationen auf concirculare, das sind solche, die geodätische Kreise (Kurven mit konstanter erster und verschwindender zweiter Krümmung) invariant lassen. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß es sich um eine concirculare Transformation \(g_{\lambda \varkappa }\to\varrho ^2g_{\lambda \varkappa }\) handelt, ist, daß der Tensor \[ \varrho _{\mu \lambda }=\nabla_\mu \varrho _\lambda -\varrho _\mu \varrho _\lambda +{\frac{1}{2}}\,g^{\varkappa \nu }\varrho _\varkappa \,\varrho _\nu \,g_{\mu \lambda };\quad\varrho _\lambda =\partial _\lambda \,\log\,\varrho, \] der bekanntlich bei der Transformation der Krümmungsgröße eine Rolle spielt, sich von \(g_{\mu \lambda }\) nur um einen skalaren Faktor unterscheidet. Daraus folgt unmittelbar, daß die \(V_{n}\) konstanter Krümmung und solche mit Einsteinscher Übertragung bei concircularen Transformationen invariant sind. Wie im allgemeinen konformen Falle läßt sich eine concirculare Krümmungsgröße der Valenz vier bilden, deren Verschwinden besagt, daß die \(V_{n}\) concircular euklidisch ist. Die Stromlinien des Feldes \(\varrho ^\varkappa \) heißen \(\varrho \)-Kurven. Bei einer concircularen Transformation sind die \(\varrho \)-Kurven geodätisch und zugleich Hauptkongruenzen, und die Hyperflächen \(\varrho =\) const besitzen lauter Nabelpunkte (und konstante mittlere Krümmung, vgl. Ref., Einführung in die neueren Methoden der Differentialgeometrie II (2. Aufl. 1938; JFM 64.0755.*), S. 141 Aufgabe 14. 4.) Umgekehrt ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Möglichkeit von concircularen Transformationen, daß es ein System von \(\infty ^1\) Hyperflächen mit lauter Nabelpunkten gibt, deren orthogonale Trajektorien eine geodätische Hauptkongruenz bilden. Zwischen den geodätischen Kreisen, den Hauptkongruenzen und den verallgemeinerten Kreisen (Verf., Proc. Acad., Tokyo, 14 (1938), 329-332; JFM 64.1369.*) besteht die Beziehung, daß jede Kurve die zu zwei dieser Klassen von Kurven gehört, auch zur dritten gehört. In der concircularen Geometrie lassen sich für eine Kurve Formeln aufstellen, die den Frenetschen entsprechen. Bei der Ableitung wird ein besonderer invarianter Differentiationsoperator benutzt. Aus den Krümmungsgrößen \(H_{cb}^{\cdot \cdot \varkappa }\) der Valenz drei einer \(V_{m}\) in \(V_{n}\) kann eine concircular invariante (sogar allgemein konforminvariante (Ref.)) Krümmungsgröße \(M_{cb}^{\cdot \cdot \varkappa }\) gebildet werden. Das Verschwinden dieser Größe besagt, daß die \(V_{m}\) lauter Nabelpunkte hat. Mit Hilfe dieser Größe werden folgende Sätze bewiesen: Ist jeder geodätische Kreis in einer \(V_{n-1}\) in \(V_{n}\) auch ein geodätischer Kreis in \(V_{n}\), so hat die \(V_{n-1}\) lauter Nabelpunkte, und ihre mittlere Krümmung ist konstant. Eine concirculare Transformation in \(V_{n}\) induziert dann und nur dann eine concirculare Transformation in einer \(V_{m}\) in \(V_{n}\), wenn \(\varrho _\varkappa M_{cb}^{\cdot \cdot \varkappa }=0\) ist. Eine \(V_{m}\) mit lauter Nabelpunkten in einer concircular euklidischen \(V_{n}\) ist selbst concircular euklidisch, und ihre mittlere Krümmung ist konstant. Eine \(V_{n}\) ist concircular euklidisch, wenn durch jede \((n - 1)\)-Richtung in jedem Punkt wenigstens eine Hyperfläche mit lauter Nabelpunkten gelegt werden kann.