On ordinary quantities and \(W\)-quantities. (Q2588382)

Eine \(E_{p}\) in \(E_{n}\) bestimmt durch Zusammenlegung eine \(E_{n-p}\). Man kann nun entweder in \(E_{p}\) eine \(p\)-dimensionale Orientierung oder in \(E_{n-p}\) eine \((n-p)\)-dimensionale Orientierung geben und erhält in dieser Weise eine \(E_{p}\) mit innerer bzw. äußerer Orientierung. Ein einfacher \(p\)-Vektor bestimmt eine \(E_{p}\) mit innerer Orientierung, während eine Größe \(v^{k_1\dots k_p}\), die sich folgendermaßen transformiert: \[ v^{k_1'\dots k_p'}=\varDelta \,|\,\varDelta \,|^{-1}A_{k_1\dots k_p}^{k_1'\dots k_p'}v^{k_1\dots k_p}, \] eine \(E_{p}\) mit äußerer Orientierung bestimmt. Für \(n = 3\) werden in einer Tabelle die zu den verschiedenen Größen gehörigen geometrischen Figuren angegeben. Es werden weiter die verschiedenen Fälle von Einbettung einer \(X_{m}\) in \(X_{n}\) behandelt. Die Einbettung kann sein: (1) eingespannt, (2) normalisiert (d. h. es existiert eine Größe \(z\) mit der Transformationsweise \(\overset{(k')}{z}=|\,\varDelta \,|\;|\,D\,|^{-1}\overset{(k)}{z}\), wo \(D\) die Transformationsdeterminante der \(X_{m}\) ist), (3) orientiert \(\biggl(\)d. h. es existiert eine Größe \(\omega \) mit der Transformationsweise \(\overset{(k')}{\omega }=\dfrac{\varDelta }{|\,\varDelta \,|}\dfrac{D}{|\,D\,|}\overset{(k)}{\omega }\)\(\biggr)\). Durch Kombination dieser Eigenschaften erhält man acht verschiedene Fälle. In jedem dieser Fälle werden die Beziehungen zwischen Größen der \(X_{m}\) und der \(X_{n}\) angegeben.