Formule di Green e di Stokes. (Q2588383)

Verf. bemerkt, daß die wohlbekannte Greensche Formel, nämlich \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \int\limits_{c}(Ad\alpha +Bd\beta )=\int\limits_{\gamma }\biggl(\frac{\partial B}{\partial \alpha }-\frac{\partial A}{\partial \beta }\biggr)\,d\alpha \,d\beta \hfill} \] (wobei \(c\) der vollständige Rand eines 2-dimensionalen Feldes \(\gamma \) ist), unter nur \textit{topologischen} Annahmen gilt, unabhängig von jedem Axiom der \textit{metrischen} Geometrie. Es genügt, das Feld \(\gamma \) als im Innern eines Gebietes \(\varGamma \) einer topologischen, auf krummlinige Koordinaten \(\alpha \), \(\beta \) bezogenen Fläche \(\sigma \) enthalten und \(A(\alpha, \beta )\), \(B(\alpha, \beta )\) innerhalb jenes Gebietes \(\varGamma \) als stetig differenzierbare Funktionen angegeben zu denken. Wird die Fläche mittels einer Parameterdarstellung \(x^i=x^i(\alpha, \beta )\) innerhalb einer \(n\)-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit \(T_{n}\) realisiert, so gilt infolge der Formel (1) \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill \int\limits_{c}\textstyle \sum\limits_{i=1}^{n} v_i\,dx^i=\displaystyle \int\limits_{\gamma }\frac{1}{2}\textstyle \sum\limits_{i,j=1}^{n}\displaystyle \biggl(\frac{\partial v_j}{\partial x^i}-\frac{\partial v_i}{\partial x^j}\biggr)\,{x^ix^j\choose \alpha \;\beta }\alpha \,d\beta,\;d\hfill} \] wobei \(A=\sum\limits_{i=1}^{n}v_i\dfrac{\partial x^i}{\partial \alpha }\), \(B=\sum\limits_{i=1}^{n}v_i\dfrac{\partial x^i}{\partial \beta }\) und \(\displaystyle {x^ix^j\choose \alpha \beta }=\dfrac{\partial (x^i, x^j)}{\partial (\alpha,\beta )}\) gesetzt wurde. In der Formel (2, 9) p. 27 ist ein offenbarer Druckfehler zu verbessern. Reduziert sich nun \(T_{n}\) auf eine Riemannsche \(V_{3}\), so ermittelt man durch eine sehr einfache Rechnung, von (2) ausgehend, die bekannte metrische Stokessche Formel: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(3)} \hfill \textstyle \int\limits_{c}\mathfrak v\times dP=\int\limits_{\gamma }(\text{rot}\,\mathfrak v)_n\,d\gamma, \hfill} \] wobei \(\mathfrak v\) das Vektorfeld, mit den Komponenten \(\mathfrak v_i\), \((\text{rot}\;\mathfrak v)_n\) die orthogonale Projektion von rot \(\mathfrak v\) in die Normalenrichtung der Fläche, ferner \(d\gamma \) das Flächenelement von \(\sigma \), und \(\times\) das skalare Produkt bedeuten.