Abstract flat projective differential geometry. (Q2588386)

Es handelt sich um eine Geometrie in einem Punktraum \(H\), dessen zulässige Koordinaten in einem Banachschen Raum \(B\) definiert werden, wobei eine unendliche Menge gewisser homogener Koordinatensysteme ausgezeichnet wird, die sogenannten ``projektiven Koordinatensysteme'', die einen zweiten Banachschen Raum \(B_1\) der Paare \(X = (x, x_0)\) koordinieren, wo die \(x\) sich auf \(B\) beziehen und \(x_{0}\) die Eichvariable genannt wird. Derartige ``projektive Koordinatensysteme'' genügen den folgenden fünf Bedingungen: (1) zu jedem Punkt \(p\) aus \(H\) gehört mindestens ein Element \(X\) des Raumes \(B_1\), und zu jedem Element \(Y\) (mit Ausnahme von (0, 0)) gehört genau ein Punkt \(q\) von \(H\); (2) zwei Elemente \(X\) und \(Y\) von \(B_{1}\) stellen dann und nur dann denselben Punkt \(p\) in \(H\) dar, wenn sie auf demselben Strahl durch den Ursprung (0, 0) von \(B_1\) liegen; (3) zwei ``projektive Koordinatensysteme'' hängen durch eine lineare Transformation zusammen; (4) ein durch eine lineare Transformation aus einem ``projektiven Koordinatensystem'' gewonnenes homogenes Koordinatensystem ist selbst ein ``projektives Koordinatensystem''; (5) es gibt mindestens ein ``projektives Koordinatensystem''. Unter diesen Voraussetzungen definieren die Verf. das Verhältnis von zulässigen und ausgezeichneten Koordinatensystemen, die Transformation der Darstellung, allgemeine und spezielle projektive Skalarfelder, projektive kontravariante Vektoren und Vektorfelder, Hyperebenen durch den Ursprung von \(B_1\), und schließlich die für die weitere Übertragungstheorie wichtige Funktion \(\mathfrak Z(X)\). Die Funktion \(\mathfrak Z(X)\) genügt einem von den Verf. näher beschriebenen Differentialsystem, in welchem der symmetrische und in \(X\) und \(Y\) bilineare ``projektive Zusammenhang'' \(\varPi (X, Y, Z)\) auftritt. Die weitere Untersuchung erstreckt sich jetzt auf Transformations- und Invarianzeigenschaften dieser Übertragung und ihrer identisch verschwindenden zugehörigen projektiven Krümmungsform. Sodann folgt die örtliche Charakterisierung ebener allgemein projektiver Geometrien mit entsprechenden Existenz- und Eindeutigkeitstheoremen, der einige Untersuchungen über Fréchetsche Differentiale vorausgehen.