The simultaneous theory of two linear connections in a generalized geometry with Banach coordinates. (Q2588390)

In einem Hausdorffschen Raum \(H\) mit einem zulässigen \(K^{(m)}\)-Bezugssystem im Sinne von Michal-Hyers (\textit{A. D. Michal}, Amer. J. Math. 59 (1937), 306-314; JFM 63.1006.*) bzw. einem zugeordneten Banachschen Koordinatenraum \(E\) (vgl. \textit{A. D. Michal}, Bull. Amer. math. Soc. 43 (1937), 394-401; JFM 63.1006.*) wird eine symmetrische Übertragung \(\varGamma (x, \xi _1, \xi _2)\) zugrunde gelegt. Eine solche Übertragung kann zu einem zweiten Banachschen Raum \(E_{1}\) in Beziehung gesetzt und durch die folgenden Definitionen näher bestimmt werden: (1) Eine Funktion \(V(x)\) über \(E\) bzw. \(E_{1}\) heißt ein nichtholonomes kontravariantes Vektorfeld, wenn für \(\overline{x}=\overline{x}(x)\) die Transformation \[ \overline{V}(\overline{x})=M\,\bigl(x, V(x)\bigr) \] gilt, wo \(M(x, y)\) eine ``solvable linear function'' von \(y\) über \(EE_1\) bzw. \(E_{1}\) darstellt, d. h. eine Funktion \(G(y)\), zu der eine inverse \(G^{-1}(y)\) existiert, so daß \[ G\,\bigl(G^{-1}(y)\bigr)=G^{-1}\bigl(G(y)\bigr)=y; \] (2) Ein Wechsel der ``Darstellung'' wird durch die beiden folgenden Transformationen gegeben: \[ \overline{x}=\overline{x}(x),\;\;\;\overline{V}(\overline{x})=M\bigl(x, V(x)\bigr); \] (3) Eine bilineare Funktion \(K(x, V, \xi )\) von \(V\) (beliebiges nichtholonomes kontravariantes Vektorfeld) und \(\xi \) (kontravarianter Vektor) über \(EE_1\) bzw. \(E_{1}\) heißt eine nichtholonome kontravariante lineare Übertragung, wenn die Transformation \[ \overline{K}(\overline{x}, \overline{V}, \overline{\xi })=M\bigl(x, K(x, V, \xi )\bigr)-M(x, V; \xi ) \] besteht, wobei \(M(x, V; \xi )\) das sogenannte Fréchetsche Differential von \(M(x, V)\) bedeutet. Auf Grund dieser Voraussetzungen gewinnt Verf. zunächst eine Charakterisierung des kovarianten Differentials \[ V(x\,|\,\delta )=\delta V(x)+K(x, V, \delta x) \] sowie eine Verallgemeinerung der Bianchischen Identität. Zum Nachweis dieser Verallgemeinerung empfiehlt sich die Verwendung spezieller Darstellungen, die Verf. als Theorie sogenannter Normaldarstellungen entwickelt. Dabei handelt es sich um die Lösungen des Differentialsystems \[ \frac{dX(x)}{ds}+K\biggl(x, X(x), \frac{dx}{ds}\biggr)=0,\;\;X(0)=X_0, \] wie sie zuerst von A. D. Michal verwendet worden sind (\textit{A. D. Michal}, Ann. Mat. pura appl., Bologna, 15 (1936), 197-220; JFM 62.1477.*). Um diese Ergebnisse auf Multilinearformen ausdehnen zu können (und einen allgemeinen Tensorkalkül zu gewinnen), werden weiterhin die Differentiale von \(G(y, X_0)\) und seiner Inversen \(G^{-1}(y, X_0)\) untersucht. Zum Schluß werden Vektorfelder in zwei nichtholonomen kontravarianten Argumentreihen \(V_1\),\dots, \(V_{s}\); \(\xi _1\),\dots, \(\xi _n\) von der Gestalt \[ F(x, V_1,\dots, V_s, \xi _1,\dots, \xi _n) \] und ihre \(k\)-ten Erweiterungen \[ F(x, V_1, \dots, V_s, \xi _1,\dots, \xi _n\,|\,\xi _{n+1},\dots,\xi _{n+k}) \] behandelt.