On metric arcs of vanishing Menger curvature. (Q2588393)

Der metrische Raum \(\varGamma \) sei ein Bogen (eineindeutiges, stetiges Bild der Strecke). \textit{K. Menger} (Math. Ann., Berlin, 103 (1930), 466-501; JFM 56.0508.*) hat eine rein metrische Definition der Krümmung \(\varkappa (p)\) von \(\varGamma \) im Punkte \(p\) gegeben und den Satz ausgesprochen, daß \(\varGamma \) dann und (natürlich) nur dann zu einer Strecke kongruent ist, wenn \(\varkappa (p)\equiv 0\) ist und \(\varGamma \) die sogenannte 4-Punkt-Eigenschaft hat (d. h. jedes Punktquadrupel aus \(\varGamma \) ist kongruent mit einem Punktquadrupel des euklidischen \(E_3\)). Menger hat diesen Satz zurückgeführt auf folgenden \(n\)-Gittersatz: Für jedes natürliche \(n\) enthält \(\varGamma \) ein natürliches \((n + 1)\)-Tupel von Punkten \(p_{0}\),\dots, \(p_{n}\) (\(p_{0}\) und \(p_{n}\) die Endpunkte) derart, daß die Abstandsgleichungen \(p_0p_1=p_1p_2=\cdots=p_{n-1}p_n\) gelten. Für Bogen \(\varGamma \) euklidischer Räume haben \textit{F. Alt} und \textit{G. Beer} (Ergebn. math. Kolloqu. Wien 6 (1935), 7; JFM 61.0634.*) diesen \(n\)-Gittersatz bewiesen. Verf. beweist den \(n\)-Gittersatz und damit den Satz von Menger unter der schwachen Voraussetzung, daß in \(G\) nur eine stetige Halbmetrik definiert ist (d. h. jedem Punktepaar \(p\), \(p'\) ist ein nichtnegativer, symmetrischer Abstand \(pp'\) derart zugeordnet, daß \(pp'=0\) äquivalent ist mit \(p = p'\) und aus \(pp_n\to0\) und \(p'p_n'\to 0\) folgt \(p_np_n'\to pp'\)). Außerdem schwächt Verf. die 4-Punkteigenschaft im Mengerschen Satz folgendermaßen ab: für je vier Punkte \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) besteht die Ptolemäische Ungleichung \[ ab\cdot cd+ad\cdot bc\geqq ac\cdot bd. \]