Ein isoperimetrisches Problem. (Q2588438)

Die gewöhnliche isoperimetrische Ungleichung der Ebene läßt sich verschärfen, wenn man konvexe Bereiche mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Ecken betrachtet. Unter allen konvexen Bereichen mit vorgegebenem Umfang und vorgegebenen Eckenwinkeln haben genau diejenigen den größten Flächeninhalt, die dadurch entstehen, daß man einem Kreis Kappen mit jenen Eckenwinkeln aufsetzt (sog. Kappenbereiche des Kreises). Der Beweis erfolgt wie im klassischen Falle mittels des Brunn-Minkowskischen Satzes. Sind \(\psi _i\) die Eckenwinkel, d. h. die Winkel zwischen den auf den äußersten Eckentangenten senkrechten Normalen, so gilt genauer: \[ U^2\geqq 4F\,\{\pi +\varSigma (\text{tg}\,\tfrac{1}{2}\,\psi _i-\tfrac{1}{2}\,\psi _i)\}; \] insbesondere ergibt sich für Polygone \((\varSigma \psi _i=2\pi )\) die isoperimetrische Ungleichung \[ U^2\geqq 4F\,\varSigma \text{tg}\,\tfrac{1}{2}\,\psi _i, \] und das Gleichheitszeichen steht nur bei solchen Polygonen, die einem Kreise umbeschrieben sind. Unter allen Polygonen mit vorgegebenem Umfang und vorgegebenen Eckenwinkeln haben also die einem Kreise umbeschriebenen, und nur diese, den größten Flächeninhalt.