Sur une généralisation d'une formule de Crofton. (Q2588452)

\textit{Crofton} hat gezeigt, daß die Länge eines Kurvenbogens in der euklidischen Ebene als ``Anzahl'' der sie treffenden Geraden erklärt werden kann: \[ \textstyle \iint n\,dp\,d\varphi =\sigma . \] Dabei wird eine Gerade durch ihren Abstand \(p\) von einem Festpunkt und durch ihren Winkel \(\varphi \) mit einer Festrichtung bestimmt, und \(n\) bedeutet ihre Schnittpunktzahl mit dem Kurvenbogen. Diese Formel wird auf den Fall übertragen, daß der Raum \(E_{n}\) zur Fundamentalgruppe eine \(G_{r}\) von Lie hat. Seien \(\omega _j\), \(j = 1\), 2,\dots, \(r\), die Pfaffschen Formen der \(G_{r}\) und \(\omega _1=\omega _2=\cdots=\omega _n=0\) die Punkte im \(E_{n}\). Es sei dann möglich, zu einem Kurvenbogen im \(E_{n}\) einen Parameter \(\sigma \) nach Pick so zu bestimmen, daß \(\omega _j=c_j\,d\sigma \) mit festen \(c_{j}\) für \(j =1\), 2,\dots, \(n\) wird. Es sei ferner \(\overline{\omega }_1=0\),\dots , \(\overline{\omega }_m=0\) ein vollständig integrierbares System, wobei die \(\overline{\omega }\) Linearkombinationen der \(\omega \) mit festen Beiwerten sind. Dadurch wird ein Raum \(N\) dargestellt. \(G_{r}\) soll die Punkte von \(E_{n}\) und die von \(N\) transitiv vertauschen. Dann ist bis auf einen festen Faktor: \[ \textstyle \int \overline{\omega }_1\overline{\omega }_2\cdots\overline{\omega }_m=\sigma . \]