Sur les invariants intégraux en géométrie. (Q2588453)

Grundformeln, insbesondere Definition der Dichten für die Integralgeometrie in einer beliebigen endlichen kontinuierlichen Gruppe. Ist \(G\) eine \(r\)-gliedrige transitive Gruppe im Raum \(R\), \(S_{0}\) eine Figur in \(R\), so hängt die Gesamtheit \(K\) aller Bilder \(S\) von \(S_{0}\) bei den Transformationen von \(G\) von \(m\) Parametern \(u_1\), \(u_{2}\),\dots , \(u_{m}\) ab, wenn \(S_{0}\) (und damit jedes \(S\)) eine \((r - m)\)-gliedrige Untergruppe von \(G\) gestattet. Als Parameter von \(G\) kann man \(u_1\), \(u_2\),\dots, \(u_{m}\) und \(r - m\) weitere Parameter \(v_{1}\),\dots, \(v_{r-m}\) verwenden. Die Abbildung \(G(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots, v_{r-m})\) soll \(S_{0}\) in \(S(u_1,\dots, u_m)\) überführen. Zu \(G\) gehören \(r\) Pfaffsche Formen \(\omega _1\), \(\omega _2\),\dots, \(\omega _r\) in den Gruppenparametern (``composantes relatives'' nach É. Cartan), die man durch Linearkombination mit konstanten Koeffizienten so normieren kann, daß \(\omega _1=\omega _2=\cdots=\omega _m=0\) für die infinitesimalen Transformationen die \(S(u_1,\dots, u_m)\) in sich überführen. Falls es nun eine bei \(G\) invariante ``Dichte'' im Körper \(K\) der Figuren \(S\) gibt, so muß sie bis auf einen konstanten Faktor die Gestalt haben \(S=|\,\omega _1\omega _2\cdots\omega _m\,|\). Dies ist jedoch nur dann als Dichte brauchbar (Wahlinvarianz!), wenn beim Umrechnen: \[ \omega _1\omega _2\cdots\omega _m=f(u_1, u_2,\dots,u_m, v_1, v_2,\dots ,v_{r-m})\,du_1\cdots du_m \] die Funktion \(f\) nicht mehr von den \(v_{i}\) abhängt; nur in diesem Falle gibt es also eine Dichte \(\dot S\). Für \(m= r\) ist die Bedingung erfüllt, ein Analogon der ``kinematischen Dichte'' ist also stets vorhanden. Beispiele: Ist \(G\) die Gruppe der inhaltstreuen Affinitäten der Ebene \((r = 5)\), so gibt es eine Punktdichte (\(m = 2\), Oberflächenelement), aber keine Geradendichte, dagegen ist eine Parabeldichte \(\dot P\) vorhanden \((m = 4)\). Versucht man, für die Gesamtheit aller Parabeln, die ein Kurvenstück der Affinlänge \(\sigma \) treffen, eine Croftonformel zu beweisen, so ergibt sich die Schwierigkeit, daß diese Menge unendliches Maß hat. Diese Schwierigkeit läßt sich aber umgehen: Sind im Schnittpunkt \(I_{1}\) und \(I_{2}\) die wie üblich normierten Tangenten- und Affinnormalenvektoren der Kurve, \(J_{1}\) und \(J_{2}\) die der Parabel, so ist \(J_1=\lambda I_1+\mu I_2\), \(J_2=\nu I_1+\tau I_2\), \(\lambda \tau -\mu \nu =1\). Zählt man nur solche Schnittpunkte mit, bei denen der ``Punkt'' \((\lambda, \mu, \tau )\) in einem vorgegebenen Gebiet vom Volumen \(V\) des \((\lambda, \mu, \tau )\)-Raumes liegt, so wird, wenn \(n\) die Anzahl solcher Schnittpunkte der Parabel \(P\) mit unserer Kurve ist: \(\int n\dot P=V\sigma \). Der Beweis stützt sich auf eine Umrechnung von \(\dot P\), es ist \(\dot P=d\sigma \,d\lambda \,d\mu \,d\tau \). Bemerkung des Ref.: Unter denselben Einschränkungen gilt auch die Poincaréformel \(\int \dot S=V\sigma _1\sigma _2\) für die Schnittpunktzahl einer ``beweglichen'' Kurve \(S\) der Affinlange \(\sigma _1\) mit einer festen Kurve der Affinlänge \(\sigma _2\). In der ebenen Möbiusgeometrie gibt es keine Punktdichte, eine Kreisdichte ist aber vorhanden. Auch hier läßt sich die Croftonformel übertragen. Vgl. auch die vorstehend besprochene Note.