Extension de la formule de Savary au mouvement le plus général d'un solide. (Q2588474)

Für die \textit{Ebene} wird durch die Formel von Euler-Savary \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \frac{1}{R_1} -\frac{1}{R}=\biggl(\frac{1}{R_f}-\frac{1}{R_m}\biggr)\frac{1}{\cos\, \varphi }\hfill} \] das Problem gelöst, aus den Krümmungen \(\dfrac{1}{R_f}\) und \(\dfrac{1}{R_m}\) der festen und beweglichen Polbahn einer ebenen Bewegung und aus der Krümmung \(\dfrac{1}{R}\) einer bewegten Kurve \(C\) die Krümmung \(\dfrac{1}{R_1}\) ihrer Hüllbahn \(C_1\) zu ermitteln. Diese Formel (1) umfaßt zwei wesentliche Aussagen: A) besagt sie, daß die Beziehung zwischen den Krümmungsmitten der verschiedenen Paare ``konjugierter'' Profile \(C\) und \(C_1\), welche dieselbe Bahnnormale \(g\) in ihren Berührpunkten \(M\) besitzen, eine \textit{parabolische Projektivität} mit dem Momentanzentrum \(I\) als Doppelpunkt ist; B) gibt sie den Zusammenhang an, der zwischen diesen Projektivitäten besteht, falls sich die Bahnnormale \(g\) (durch Drehung um das Momentanzentrum \(I\), d. i. durch Änderung von \(\varphi \)) verändert (\textit{``Variationsgesetz''}). Mit dem Probleme, die Euler-Savarysche Formel auf den \textit{Raum} zu übertragen, haben sich vor allem G. Koenigs und M. Disteli beschäftigt. Dort ergeben sich zunächst \textit{zwei} scheinbar ganz verschiedene \textit{Fragen}. Erstens kann, wie in der Ebene, eine bewegte \textit{Kurve} \(C\) eine \textit{Hüllkurve} \(C_1\) besitzen, und man wird, wenn die Elemente der Bewegung bekannt sind, die Krümmungsachsen von \(C_1\) aus jenen von \(C\) bestimmen wollen; insbesondere wird man die Krümmungsachsen der \textit{Punktbahnen} ermitteln. Zweitens wird eine bewegte \textit{Fläche} \(S\) eine \textit{Hüttfläche} \(S_1\) besitzen, und man wird die Krümmungselemente (Hauptkrümmungsrichtungen und -radien) von \(S_1\) aus jenen von \(S\) bestimmen wollen. Die diesbezüglichen Arbeiten von \textit{Koenig}s, Mem. Acad. Sci. Paris (2) 35 (1914) Nr. l, 215 p.; J. Math. pur. appl., Paris, (6) 8 (1912), 103-158 (F. d. M. 43, 795 (JFM 43.0795.*)) und von \textit{Disteli}, Z. Math. Physik 62 (1914), 261-309 (F. d. M. 45, 959) geben trotz ihrer Teilresultate noch keine sinngemäße Übertragung der Euler-Savaryschen Formel auf den Raum. Denn eine solche müßte nach A) zunächst eine Aussage machen über die Krümmungsverhältnisse konjugierter Flächen \(S\), \(S_1\), die in ihren Berührpunkten eine feste gemeinsame \textit{Bahnnormale} \(g\) besitzen. Bekanntlich bilden diese Bahnnormalen einer Raumbewegung in jedem Augenblick einen \textit{linearen Strahlkomplex}. Und eine solche Aussage gelingt Koenigs, wenn man von einem Sonderfalle absieht, noch nicht, er hält sie sogar für schwer möglich. Man verdankt Verf. die Klärung und \textit{Lösung} dieses Problems. Sie geschieht in sehr interessanter und beide oben formulierte Fragen umfassender Weise. Verf. geht davon aus, daß die Transformationen, welche vermöge der Bewegung, sei es einem Punkte seine Bahn, einer Kurve ihre erzeugte Fläche oder Hüllkurve, oder einer Fläche \(S\) die Hüllfläche \(S_1\) zuordnen, Ausschnitte aus einer und derselben \textit{Berührungstransformation} sind. Dieser Gedanke, zusammen mit der Bestimmung der \textit{Geschwindigkeit} eines Punktes, ermöglicht, wie bekannt, in der Ebene die schnellste Herleitung der Euler-Savaryschen Formel. Versucht man die \textit{Übertragung auf den Raum}, so ergibt sich die folgende Einsicht: Es seien \(z=f(x, y)\) und \(z=f_1(x, y)\) die Fläche \(S\) und ihre Hüllfläche \(S_1\) bei einer Raumbewegung. Dabei soll der Ursprung \(O\) des Achsenkreuzes \((x, y, z)\) in den momentanen Berührpunkt \(M\) der Flächen und die \(z\)-Achse in ihre gemeinsame Bahnnormale \(g\) gelegt sein, \(r\), \(s\), \(t\), \(r_1\), \(s_1\), \(t_1\) seien die zweiten Ableitungen von \(f\) und \(f_1\) in \(M\). \(\xi \), \(\eta \), \(\zeta \), von der Zeit \(t\) abhängig, seien die Koordinaten der Translations-, \(p\), \(q\), \(r\) die der Rotationsgeschwindigkeit der Momentanbewegung. Dann, zeigt sich, hängen die Größen \(1: r: s: t: rt - s^2 = X: Y: Z: T: U\) der Fläche \(S\) mit den analogen Größen \(X_1:Y_1:Z_1:T_1:U_1\) der Hüllfläche \(S_{1}\) durch eine \textit{lineare homogene Substitution} \(\mathfrak S\) zusammen. Ihre Matrix lautet, wenn \(\dot\zeta \) die Ableitung von \(\zeta \) nach der Zeit bedeutet: \[ \begin{Vmatrix} &\;\;\\ \dot\zeta -p\eta +q\xi &\xi ^2 &2\xi \eta &\eta ^2 &0 \\ -q^2 &\dot\zeta -p\eta -q\xi &-2q\eta &0 &\eta ^2 \\ pq& p\xi & \dot\zeta & -q\eta & -\xi \eta \\ -p^2& 0& 2p\xi & \dot\zeta +p\eta +q\xi & \xi ^2\\ 0& -p^2& -2pq& -q^2& \dot\zeta +p\eta -q\xi \end{Vmatrix}. \] \textit{Dieses Theorem ist es, welches als die sinngemäße Übertragung des Euler-Savaryschen Satzes auf den Raum zu betrachten ist}. In der Tat zeigt sich, daß das klassische Theorem der Ebene darin als Sonderfall enthalten ist, sowohl in der Form (1), als auch unmittelbar in der charakteristischen Form der Aussage A). Durch Übergang zu jenen \textit{Parallelflächen} von \(S\) und \(S_1\), welche durch den Fußpunkt des Lotes gehen, das zwischen der festen Bahnnormalen \(g\) und der Achse \(\varDelta \) der Momentanschraubung vorhanden ist, kann man dieses Theorem auf eine analytisch besonders einfache \textit{kanonische Form} bringen. Dann ist nämlich \(\xi =p=0\), \(\dot\zeta \neq0\), und wenn man die Transformation \(\theta \) vornimmt: \[ s^{\ast}=s+\frac{q}{\eta },\;s_1^{\ast}=s_1+\frac{q}{\eta }, \] d. h. \(z^{\ast}=z+\dfrac{q}{\eta }xy\) setzt, erhält man die einfachen \textit{kanonischen Formeln} \[ \frac{1}{t_1}-\frac{1}{t}=\frac{\eta ^2}{\dot\zeta },\quad\frac{s_1^{\ast}}{t_1}=\frac{s}{t},\quad \frac{r_1t_1-s_1^{{\ast}2}}{t_1}=\frac{rt-s^{{\ast}2}}{t}. \] Man kann sie auffassen als induziert zwischen den Flächen \(S\) und \(S_{1}\) durch die Berührungstransformation \(\tau \) mit den beiden Leitgleichungen \[ x_1-x=0,\;\;\;(y_1-y)^2+(z_1-z)^2=a^2, \] und kann sagen, daß allgemein zwischen den Umgebungen zweiter Ordnungen (insbesondere den Hauptnormalrichtungen) konjugierter Flächen \(S\) und \(S_{1}\) mit derselben Bahnnormalen \(g\) eine \textit{Berührungstransformation} der Form \(\theta ^{-1}\tau \theta \) besteht. Das ist das Analogon des Satzes, daß in der Ebene zwischen den Krümmungsmitten konjugierter Profile \(C\) und \(C_{1}\), welche dieselbe Bahnnormale \(g\) besitzen, eine perspektive Zuordnung (parabolische Projektivität) besteht, deren Zentrum der Momentanpol ist. Die Ausdehnung der obigen \textit{Aussage B}) auf den Raum hängt wesentlich von der Ermittlung von \(\dot\zeta \) ab. Es stellt sich heraus, daß dieses nur von der Bahnnormalen \(g\) abhängt. Es werden drei Hauptfälle ausführlich behandelt, a) jene, wo die Achsenflächen \(\varSigma \) und \(\varSigma _1\) der Bewegung allgemein sind (Richtkegel haben), b) wo sie zylindrisch sind, und c) wo die Bewegung im Augenblick translatorisch ist. Es wird gezeigt, daß das \textit{``Variationsgesetz} \(B\))'' bei a) besonders für den Fall der reinen \textit{Drehung} besonders einfach wird, nämlich in allen Ebenen, die zur Momentanachse normal sind, mit der klassischen Euler-Savaryformel (1) zusammenfällt. Ausführlich wird der Fall einer bewegten \textit{Kurve} \(C\) erörtert, deren \textit{Hülle} wieder eine \textit{Kurve} \(C_1\) ist, ebenso der Fall der \textit{Torsen}. Hierbei können oft ältere Resultate von Koenigs und H. Resal zum Vergleiche herangezogen werden. Eine weitere Anwendung besteht in der Lösung der beiden folgenden \textit{Probleme}: 1) Wenn eine Raumbewegung gegeben ist, alle \textit{Regelflächen} \(S\) zu bestimmen, deren Hüllflächen \(S_1\) wieder \textit{Regelflächen} sind, welche die \(S\) nach Erzeugenden berühren, wobei von \(S_{1}\) noch die sphärische Indikatrix vorgegeben werden kann. Die Lösung hängt von einer Quadratur ab, wenn abwickelbare Flächen vorliegen, sonst von der Integration eines linearen Differentialsystems zweiter Ordnung. 2) Es werden umgekehrt zu den gegebenen Flächen \(S\) und \(S_{1}\), die sich längs einer Erzeugenden berühren, die Elemente der möglichen Achsenflächen der möglichen Raumbewegung angegeben. Dabei werden Ergebnisse von H. Resal ergänzt.