Combinatorial topology of polyhedra. (Q2588578)

Entsprechend der Zusammensetzung eines zweidimensionalen, geschlossenen Komplexes (Polyeders) \(P\) aus seinen zweidimensionalen Zellen, wird hier \(P\) erhalten rein kombinatorisch ausgehend von zwei Arten von Elementen, ``0-Rändern'' und ``1-Rändern'', mit gegenseitigen Inzidenzbeziehungen und Identifizierung von je zwei 1-Rändern und mindestens zwei 0-Rändern. Die \(2m\) 1-Ränder eines solchen verallgemeinerten Polyeders \(P\) mit \(m\) Kanten lassen sich (in zyklischer Reihenfolge) so anordnen, daß dadurch die topologische Struktur von \(P\) vollkommen und eindeutig bestimmt ist. Die die \(k\) Kanten eines maximalen Baumes des Kantennetzes von \(P\) bildenden \(2k\) 1-Ränder treten dabei in der Reihenfolge auf, wie sie durchlaufen werden, wenn man einmal um den Baum herumläuft. Von den beiden 1-Rändern jeder weiteren Kante tritt je einer an einer der beiden Stellen auf, wo man beim Umlaufen des Baumes die betreffende Kante kreuzt. Umgekehrt stellt jede zyklische Anordnung, ``Kette'' (``monomial'') von 1-Rändern, die gewisse Bedingungen erfällt, ein verallgemeinertes Polyeder \(P\) dar. Die Festsetzungen, wie aus einer solchen Kette die Inzidenzen zwischen den Kanten und Ecken des zugehörigen Polyeders \(P\) gefunden werden, bedürfen einer Berichtigung, um bei nichtorientierbaren Flächen Widersprüche zu vermeiden und sie in Einklang zu bringen mit den angeführten Beispielen. Alle Ketten, die dasselbe Polyeder ergeben, lassen sich zu einer Klasse zusammenfassen. Die Transformationen, welche Ketten in solche derselben Klasse überführen, oder in solche, die zu dem zu \(P\) dualen Polyeder gehören, werden angegeben. Die Polyeder \(P_n\) mit \(n\) zweidimensionalen Zellen, die alle gegenseitig aneinander grenzen, werden besonders untersucht und die Ketten für die dazu dualen Polyeder für verschiedene \(n\) aufgestellt; darunter auch für \(n = 10\); \(P_{10}\) ist auf einer nichtorientierbaren Fläche vom Geschlecht 8 realisierbar, wodurch für diese Flächen der Nachweis gebracht wird, daß 10 die Mindestzahl ist, die zu ihrer Ausfärbung im Sinne des Farbenproblems ausreicht.