Über zusammenhängende kompakte abelsche Gruppen. (Q2588622)

Es werden einige topologische Eigenschaften der zusammenhängenden kompakten separablen abelschen Gruppen (kurz: z. k. s. a. Gruppen) bewiesen. Jede z. k. s. a. Gruppe \(\mathfrak{G}\) ist die Limesgruppe einer \(G_{\nu}\)-adischen Folge von Torusgruppen \(\mathfrak{T}_{\nu}\), und durch Limitierungsverfahren erhält man sofort die topologische Isomorphie \(B_{\mathfrak{K}}^1(\mathfrak{G}) \cong \mathfrak{G}\). Dabei ist \(B_{\mathfrak{K}}^1(\mathfrak{G})\) die \(l\)-dimensionale Bettische Gruppe von \(\mathfrak{G}\) in bezug auf die additive Gruppe \(\mathfrak{K}\) der mod. 1 reduzierten reellen Zahlen als Koeffizientenbereich. Die algebraische Struktur der Gruppe \(\mathfrak{G}\) bestimmt sich deshalb durch ihre topologische Struktur. Für jede stetige Abbildung \(f\) von \(\mathfrak{G}\) in \(\tilde{\mathfrak{G}}\) gibt es einen und nur einen stetigen Homomorphismus \(h_f\), der zu \(f\) in dem Sinne homotop ist, daß für eine beliebige stetige Abbildung \(\psi\) von \(\tilde{\mathfrak{G}}\) in ein beliebiges Polyeder \(Q\) die Abbildungen \(\psi f\) und \(\psi h_f\) im üblichen Sinne homotop sind. Die einzige \(n\)-dimensionale z. k. s. a. Gruppe, die sich in den \((n + 1)\)-dimensionalen euklidischen Raum topologisch einbetten läßt, ist die Torusgruppe. Dies wird durch Heranziehung des \textit{Alexander-Pontrjagin}schen topologischen Dualitätssatzes (Ann. Math., Princeton, (2) 35 (1934), 904-914; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 531) bewiesen.