Über H-abgeschlossene und bikompakte Räume. (Q2588639)

Es sei \(R\) ein allgemein-topologischer Raum (\textit{Alexandroff-Hopf}, Topologie I (1935; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 602), S. 25). Verf. schreibt \(uM\) statt \(\overline{M}\). Ist \(vM\) eine zweite, von \(u\) verschiedene topologische Zuordnung und stets \(uM \subset vM\), so heißt die Zuordnung \(v\) stärker als \(u\). Eine Hausdorffsche Topologie \(u\) heißt maximal, wenn es keine stärkere Hausdorffsche Topologie in \(R\) gibt. Verf. beweist unter anderem folgende Sätze: 1) Für die Bikompaktheit eines Hausdorffschen Raumes \(R\) (kurz H-Raum) ist jede der beiden folgenden Bedingungen notwendig und hinreichend: a) je zwei verschiedene Punkte aus \(R\) besitzen disjunkte abgeschlossene Umgebungen, und die Topologie von \(R\) ist maximal; b) jede abgeschlossene Teilmenge \(A\) von \(R\) ist H-abgeschlossen, d. h. abgeschlossen in jedem \(A\) als Teilraum enthaltenden H-Raum (zu b) vgl. \textit{M. H. Stone}, Trans. Amer. math. Soc. 41 (1937), 375-481; F.~d.~M. 63\(_{\text{II}}\), 1173). 2) Zu jedem H-Raum existiert eine H-abgeschlossene Hülle, d. h. ein H-Raum \(S\) mit folgenden drei Eigenschaften: a) \(R\) ist Teilraum von \(S\) und \(\overline{R} = S\); b) \(S\) ist H-abgeschlossen; c) ist \(f\) eine eindeutige stetige Abbildung von \(R\) in einen H-Raum \(Q\) mit \(\overline{f(R)}=Q\), so gibt es eine Menge \(M\) mit \(R \subset M \subset S\) und eine auf \(R\) mit \(f\) identische eindeutige, stetige Abbildung \(F\) von \(M\) auf \(Q\). -- Ist \(Q\) bikompakt, so kann man \(M = S\) wählen. -- Besitzt ein H-Raum \(S'\) die Eigenschaften a) bis c) in bezug auf einen H-Raum \(R'\), und existiert eine Homöomorphie zwischen \(R\) und \(R'\), so kann man dieselbe erweitern zu einer Homöomorphie zwischen \(S\) und \(S'\). -- 3. Neuer Existenzbeweis für die bikompakte Hülle eines vollständig regulären Raumes (\textit{Stone}, a. a. O., \textit{E. Čech}, Ann. Math., Princeton, (2) 38 (1937), 823-844; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 570).