Kegular curve-families filling the plane. I. (Q2588648)

Untersucht werden reguläre (d. h. im kleinen einer Parallel-Geradenschar homöomorphe) Kurvenscharen in der Ebene. Zuerst werden Sätze von \textit{Bendixson} (Acta math., Stockholm, 24 (1900), 1-88; F.~d.~M. 31, 328) über Kurvenscharen in Gebieten in rein topologische Gestalt gebracht und so bewiesen. Dann werden die in der ganzen Ebene regulären Scharen behandelt. Hilfsmittel sind zwei einander ausschließende Beziehungen zwischen drei Kurven der Schar: Die eine besagt, daß eine der Kurven die beiden anderen trennt; die andere, daß die drei Kurven in bestimmter zyklischer Folge die positive Orientierung der Ebene bestimmen. Ein paar Axiome algebraischer Art legen die Zusammenhänge dieser Beziehungen mehrerer Kurven untereinander fest; ein Teil der Untersuchung bewegt sich in diesem rein algebraischen Gebiet. Das Hauptergebnis ist eine Übersicht über die möglichen Gestalten der in der ganzen Ebene regulären Scharen. Die Aussagen dieser Übersicht betreffen zwar nicht nur topologisch invariante Eigenschaften der Schar und geben diese auch nicht vollständig an, aber immerhin die wichtigsten unter ihnen. Weiter ergibt sich, daß die Kurven jeder in der ganzen Ebene regulären Schar sich auffassen lassen als die Höhenlinien einer im kleinen der Funktion \(f(x,y) = y\) homöomorphen Funktion \(f(x, y)\).