Alcune osservazioni sul comportamento di un insieme puntuale intorno ai suoi punti di accumulazione. (Q2588654)

In Weiterführung von Arbeiten von \textit{F. Severi} (Ann. Soc. Polonaise Math. 9 (1931), 97-108; Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 13 (1934), 1-35; F.~d.~M. 57\(_{\text{I}}\), 754 ; 60\(_{\text{I}}\), 216) werden folgende Ergebnisse gewonnen. Erklärung: Eine Punktmenge \(\mathfrak{M}\) des euklidischen \(E_n\) heiße projektiv \(k\)-dimensional \((k < n)\) in ihrem Häufungspunkt \(P\), wenn \(k\) die kleinste Zahl \(t < n\) ist derart, daß eine Umgebung von \(P\) auf \(\mathfrak{M}\) eineindeutig auf eine Punktmenge eines \(E_t\) projizierbar ist. Existiert kein solches \(k\), so heiße \(\mathfrak{M}\) in \(P\) projektiv \(n\)-dimensional. Unter dem Tangentialraum an \(\mathfrak{M}\) in \(P\) verstehe man die lineare Hülle des Paratingents an \(\mathfrak{M}\) in \(P\). Stimmen in \(P\) die projektive Dimension \(k\) und die Dimension des Tangentialraumes von \(\mathfrak{M}\) überein, so bezeichne man \(\mathfrak{M}\) in \(P\) als vom Charakter \(k\); ist \(\mathfrak{M}\) in allen Punkten vom Charakter \(k\), so heiße \(\mathfrak{M}\) selbst vom Charakter \(k\). Verf. zeigt nun unter anderem: Ist \(\mathfrak{M}\) in \(P\) vom Charakter \(k\), so ist jede im Tangentialraum \(T\) von \(\mathfrak{M}\) in \(P\) enthaltene Gerade durch P eine Paratingente, d. h. \(T\) fällt mit dem Paratingent zusammen. Dies folgt aus der Tatsache: Ist \(\mathfrak{M}\) in \(P\) projektiv \(k\)-dimensional, dann enthält jeder \(E_{n-k+1}\), welcher durch \(P\) geht, mindestens eine Paratingente an \(\mathfrak{M}\) in \(P\). Unter Heranziehung der oberhalb-Stetigkeit des Paratingents ergibt sich jetzt unter anderem: Eine perfekte Punktmenge vom Charakter \(k\) besitzt stetigen Tangentialraum. (Vgl. auch die nachstehend besprochene Arbeit des Verf.)