On homotopy and extension of mappings. (Q2588698)

Verf. beweist vor allem folgenden Satz: Sei \(A\) ein Kompaktum und \(Y\) ein absoluter Umgebungsretrakt; damit eine Abbildung \(f\) aus \(Y^A\) homotop sei zu einer konstanten Abbildung (d. h. zu einer Abbildung auf einen Punkt), ist notwendig und hinreichend, daß \(f\) erweitert werden kann auf jeden regulären separablen Raum \(\supset A\). Hieraus ergibt sich ein neuer Beweis für einen bekannten Satz von \textit{Borsuk} (Fundara. Math., Warszawa, 19 (1932), 220-242 (F.~d.~M. 58\(_{\text{I}}\), 629), insbesondere S. 229) und eine neue Charakterisierung der Kategorie (im Sinne von \textit{Lusternik} und \textit{Schnirelmann}, vgl. \textit{Borsuk}, Fundam. Math., Warszawa, 26 (1936), 123-137; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 682) für absolute Umgebungsretrakte des Hilbertschen Parallelotops. Weiter wird bewiesen: Damit \(f\) aus \(Y^A\) \(n\)-homotop sei zu einer konstanten Abbildung, ist hinreichend, daß \(f\) erweitert werden kann auf jedes höchstens \((n + 1)\)-dimensionale Kompaktum \(\supset A\). Schließlich beweist Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß eine Teilmenge \(B\) eines separablen, regulären Raumes \(Y\) stetig deformiert werden kann in eine andere (vorgegebene) Mense \(B'\) von \(Y\) bzw. in (eine Teilmenge von) \(Y - B\) bzw. einen Punkt von \(Y-B\).