Un teorema sulle masse variabili. (Q2588760)

Die Schwingungsgleichung \[ m\ddot x=-k^2x\tag{1} \] hat bei adiabatisch veränderlicher Masse und festem \(k\) die Lösung \[ x= \sqrt {\dfrac {2I}k{}} \cdot \root 4 \of m \cdot \cos\,\Biggl\{ \int\limits _0^t \frac {k}{\sqrt m}\,dt + \theta _0\Biggr\}, \] in der \(I\), \(\theta _0\) adiabatische Invarianten bedeuten; die Amplitude wächst also wie \(\root 4 \of m\). Hingegen führt die Gleichung \[ \frac {d}{dt}\,(m\dot x) = -k^2x\tag{2} \] durch die Transformation \(x= m^{-\frac {1}{2}}x_1\) auf (1) zurück; die Amplitude der durch (2) beschriebenen Schwingung ändert sich demnach proportional zu \(m^{-\frac {1}{4}}\).