Nozione adimensionale di vortice e sua applicazione alle onde trocoidali di Gerstner. (Q2589038)

Bei der wirbelfreien Strömung einer idealen Flüssigkeit ist die Wirbelstärke \(\omega(P,t)=0\); da \(\omega\) von der Dimension [sec\(^{-1}\)] ist, empfiehlt sich als Maß der Abweichung einer beliebigen Strömung von der Potentialströmung die Größe \(\varOmega(P,t)=\int\limits_0^t \omega(P,t) \cdot dt\), bzw. ihr Maximum in \(\langle 0,t\rangle\) bei festem \(P\). Für die Gerstnerwellen der Wellenlänge \(2\pi\) und der daraus folgenden Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(c=\sqrt g\) gilt in einem vertikalen \(x\), \(y\)-System: \[ x=\alpha+e^{-\beta}\cdot \sin(\alpha+ct), \quad y=\beta+e^{-\beta}\cdot \cos(\alpha+ct), \tag{1} \] wo für die praktisch wichtigen Fälle \(\beta\) über der Wurzel 0,57~\dots der Gleichung \(B-e^{-B}=0\) liegt; für \(\varOmega\) findet man dann \[ \varOmega = c \int\limits_0^t \frac{e^{-2\beta}}{1-e^{-2\beta}}\cdot dt, \] worin bei festen \(x\), \(y\) \(\beta\) aus (1) als Funktion von \(t\) einzusetzen ist. Daraus beweist Verf., daß \(\varOmega\) ein säkulares, d. h. mit der Zeit anwachsendes, positives Glied enthält, also bei Gerstnerwellen in einem festen Punkte die Abweichung von der wirbelfreien Strömung mit der Zeit unbeschränkt wachsen muß. Die experimentelle Bestätigung steht aus.