Zur Theorie ebener Störungen in reibungsfreien Gasen. I, II. (Q2589118)

Die Bewegungen reibungsfreier Gase werden durch die Kontinuitätsgleichung und die hydrodynamische Bewegungsgleichung beschrieben. Bei ebenen Vorgängen lauten diese Gleichungen \[ \varrho_t+u\varrho_x+\varrho u_x=0, \quad u_t+uu_x+ \frac 1\varrho p_x=0, \] worin Druck \(p\) und Dichte \(\varrho\) durch \(p=a^2\dfrac{\varrho^n}n\) verknüpft sind (polytropische Zustandsänderung). Mit \(\sigma=\dfrac n{n-1}\dfrac p\varrho\) und durch Vertauschen der Veränderlichen kommt man auf die linearen Gleichungen \[ x_u-ut_u+(n-1)\sigma t_\sigma=0, \quad x_\sigma- ut_\sigma + t_u = 0. \] Nach Einführung einer Funktion \(V(u,\sigma)\) vermöge \(x-ut=V_u\), \(t=-V_\sigma\) bleibt mit \(u=\dfrac \eta {\sqrt{n-1}}\), \(\sigma=\dfrac{\xi^2}4\) die Darbouxsche Gleichung \[ V_{\xi\xi}+\frac k\xi V_\xi=V_{\eta\eta}, \quad k=\frac{3-n}{n-1}. \] Verf. zeigt, wie man bei der schon von \textit{B. Riemann} (Abh. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen 1860) und \textit{J. Hadamard} (Leçons sur la propagation des ondes (1903; F. d. M. 34, 793), S. 168) behandelten Anfangswertaufgabe die Lösung der Darbouxschen Gleichung für die Werte \(n=\dfrac{2m+3}{2m+1}\) (\(m\) ganze Zahl \(\geqq 0\)) ohne Benutzung; der Riemannschen Integrationsmethode erhalten kann. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Integration der Darbouxschen Gleichung behandelt, wenn \(k\) irgendeine reelle Zahl ist. Verf. bedient sich dabei des Operators \(L=\dfrac 1\xi\dfrac \partial{\partial \xi}\) und gewinnt so eine Darstellung der Lösung durch Integrale über gewisse Wege in der komplexen Zahlenebene.