Energetische Betrachtungen an der Telegraphengleichung. (Q2589265)

Verf. geht auf die Energieverhältnisse bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen nach der Telegraphengleichung ein, die er zunächst durch die Einführung der Aufladung der Leitung \(Q (x, t)\) mit \(\partial Q/\partial x=CU\) und \(\partial Q/\partial t=-I\) vereinfacht. Um zu erkennen, wie sich eine bestimmte Ladungs- und Stromverteilung \(Q (x, 0)\) und \(I(x, 0)\) ausgleichen, werden diese Anfangszustände nach den Eigenlösungen der homogenen Randwertaufgabe \(\left.\dfrac{\partial Q}{\partial x}\right|_{x+0}=0\) entwickelt. Dazu wird wiederum \(Q(x, t) = q (x)e^{\lambda t}\) gesetzt; wegen der sich ergebenden diskreten Parameterwerte \(\lambda=\lambda_{\nu}\) (Eigenwerte) erscheint dann \(Q (x, t)=\sum\limits_{\nu} A_{\nu}q_{\nu}(x)e^{\lambda_{\nu}t}\), und \(U\), \(I\) erhalten die entsprechende Form. Die \(A_{\nu}\) werden abweichend von der Rayleighschen Methode durch Einführung des Begriffes der ``wechselseitigen Energie'' bestimmt; dabei wird Heavisides Satz von der Gleichheit der wechselseitigen elektrischen und magnetischen Energie auf die Telegraphengleichung angewendet. Der Einschwingvorgang der Leitung aus dem unelektrischen Zustand in den einer periodischen Erregung \(\tilde{q}(x)e^{i\omega t}\) entsprechenden stationären Zustand läßt sich dann durch Gleichungen der Form \[ Q(x,t) = \tilde{q}(x)e^{i\omega t} - \sum_{\mu} B_{\mu}q_{\mu}(x)e^{\lambda_{\mu}t} \] beschreiben, in denen die \(B_{\mu}\) durch die wechselseitigen Energien ausdrückbar sind und somit lediglich physikalisch deutbare Größen (Frequenzen, Energien und Amplituden) vorkommen. Der Satz von der Gleichheit der wechselseitigen elektrischen und magnetischen Energie läßt also in seiner erweiterten Form auch für die Telegraphengleichung eine energetische Ausdeutung der allgemeinen Lösung zu.