Sur la recherche qualitative et quantitative d'un système d'équations différentielles jouant un rôle important dans la physique cosmique. (Q2589304)

Bei der Untersuchung der mit dem Polarlicht verbundenen elektromagnetischen Vorgänge erweist sich die folgende Aufgabe als grundlegend: Es sind die Bahnkurven einer elektrischen Ladung, die sich im Felde eines magnetischen Dipols bewegt, zu bestimmen. Unter Benutzung kartesischer Koordinaten, wobei die Achse des Dipols in die \(z\)-Achse gelegt wird, führt die Aufgabe auf das folgende System von Differentialgleichungen: \[ \begin{gathered} r^5\dfrac{d^2x}{ds^2} = 3yz\dfrac{dz}{ds}-(3z^2-r^2)\dfrac{dy}{ds},\quad r^5\dfrac{d^2y}{ds^2} =(3z^2-r^2)\dfrac{dx}{ds} - 3xz\dfrac{dz}{ds},\\ r^5\dfrac{d^2z}{ds^2} = 3xz\dfrac{dy}{ds}-3yz\dfrac{dx}{ds}, \end{gathered} \] (\(s\) Bogenlänge der Bahnkurve, \(r^2 = x^2 + y^2 + z^2\)). Nach Einführung von Zylinderkoordinaten \(x = R \cos\varphi\), \(y = R \sin\varphi\) gibt Verf. zwei erste Integrale an: \[ R^2\dfrac{d\varphi}{ds} = 2\gamma + \dfrac{R^2}{r^3}, \quad \left(\dfrac{dR}{ds}\right)^2 + \left(\dfrac{dz}{ds}\right)^2 + \left(\dfrac{2\gamma}{R} + \dfrac{R}{r^3}\right)^2=1 \] (\(\gamma\) Integrationskonstante), führt eine qualitative Diskussion des Verlaufs der Bahnkurven durch und berichtet über die Berechnung einer größeren Anzahl von Bahnkurven mit Hilfe numerischer Methoden zur angenäherten Integration von Differentialgleichungen.