Sur un théorème d'hydrodynamique relativiste. (Q2589335)

Aus dem Satz von \textit{Eisenhart} (Trans. Amer. math. Soc. 26 (1924), 205-220 (F. d. M. 50, 596 (JFM 50.0596.*)), S. 216) leitet Verf. die relativistische Verallgemeinerung des Bernoullischen Satzes her. \(u^\lambda\) sei der Einheitsvektor der Geschwindigkeit, \(\varrho\) und \(p\) seien die Dichte der Materie und der Druck einer vollkommenen Flüssigkeit. Für eine permanente Bewegung ist der \textit{Synge}sche Index (Proc. London math. Soc. (2) 43 (1937), 376-416; F. d. M. \(63_{\text I}\), 764) \(F = \exp \int\limits_{p_0}^p\dfrac{dp}{\varrho}\) unabhängig von der Zeitvariablen \(x^4\) und die Metrik besitzt den allgemeinsten statischen Typus. Verf. zeigt, daß eine solche Bewegung längs einer Strömungslinie einer der äquivalenten Bedingungen genügt: \(Fu_4 =\) const; \(F^2 g_{44}(1+u^2) =\) const, wo \(u^2\) das Quadrat des Raumvektors \(u^i\) bezeichnet. Falls \(\dfrac p\varrho\) und \(u^2\) klein sind, kann diese Bedingung in der Form \[ \tfrac12 g_{44}+\left(\tfrac12 u^2+\int\limits_{p_0}^p\dfrac{dp}{\varrho} \right)g_{44}=\text{const} \] geschrieben werden, die an die klassische Form des Bernoullischen Satzes erinnert.