On the roots of a continuous non-differentiable function. (Q2589603)

Sei \(f (x)\) eine Funktion, die auf einem Intervall [z. B. in \((0,1)]\) definiert ist. Bezeichne \(A\) die Menge der Werte von \(f (x)\), für die mes \(\underset {x} E [f(x) = \alpha] >0\) besteht; \(B\) die Werte, wo mes \(\underset {x} E [f(x) = \alpha] =0\), aber \(E\) nicht abzählbar ist; endlich \(C\) die Werte, wo \(E\) höchstens abzählbar ist. Diese Note enthält das interessante Resultat: Ist \(f(x)\) eine stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion, so ist \(A\) höchstens abzählbar; \(B\) hat das Maß des Intervalles: (min \(f (x)\), max \(f(x)\)); während \(C\) eine Menge vom Maß Null ist. Mit anderen Worten: eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion nimmt fast jeden Wert zwischen ihrem Maximum und Minimum unabzählbar viele Male an.