Functions of several variables and absolute continuity. II. (Q2589605)

Die Arbeit ist eine unmittelbare Fortsetzung der vorstehend besprochenen Arbeit von \textit{Calkin}, auf deren Referat auch hinsichtlich der Bezeichnungen Bezug genommen wird. I. Zunächst handelt es sich um das Verhalten der Funktionenklassen \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) usw. bei Transformationen (Abbildungen) der unabhängig Veränderlichen, wobei über die Abbildung außer Ein-eindeutigkeit und Stetigkeit noch vorausgesetzt wird: Dehnungsbeschränktheit der Abbildung nebst ihrer Umkehrung in jeder abgeschlossenen, beschränkten Teilmenge des Urbild- bzw. Bildbereiches \(D\) bzw. \(B\) (\textit{Transformationen der Klasse} \(K\)) oder Dehnungsbeschränktheit im ganzen \(D\) und \(B\) (\textit{reguläre Transformationen}) oder stetige Differenzierbarkeit in \(D\) und \(B\) (\textit{Transformationen der Klasse} \(C^\prime\)). Es wird dann die Invarianz der Klassen \(\mathfrak P\) und \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) (auf dem offenen \(D\)) bei Transformationen der Klasse \(K\) nachgewiesen; d. h.: Ist \(f (x) \in \mathfrak P\) oder \(f (x) \in \mathfrak P^{\prime\prime}\) auf \(D\) und \(x = x(y)\) von der Klasse \(K\), wobei \(D\) auf \(B\) abgebildet wird, so ist \(f(x(y)) = F(y) \in \mathfrak P\) bzw. \(F(y) \in \mathfrak P^{\prime\prime}\) auf \(B\). Ist \(x(y)\) in \(y_0\) differenzierbar, und existieren die v. D. von \(f (x)\) in \(x_0= x(y_0)\), so existieren die v. D. von \(F(y)\) in \(y_0\), und es gilt die bekannte Regel \(\left(D_{y_k} (F)\right)_{y_0} = \sum\limits_{\nu = 1}^n \left(D_{x_\nu} (f)\right)_{x_0} \left( \dfrac {\partial x_\nu}{\partial y_k}\right)_{y_0}\), \(k=1, \dots, n\). Entsprechend sind \(\mathfrak P_\alpha \) und \(\mathfrak P_\alpha^{\prime\prime} \) invariant bei regulären Transformationen (der Klasse \(K\)). Für \(\mathfrak P^{\prime} \) gilt, mit gewisser Einschränkung, ähnliches. II. Sodann wird das Verhalten der (im allgemeinen nichtstetigen) Funktionen aus \(\mathfrak P_\alpha \) in den Randpunkten der Definitionsgebiete von der Klasse \(K\) untersucht. Ein \textit{Gebiet} \(\mathfrak G\) wird dabei zur \textit{Klasse} \(K\) gerechnet bzw. zur \textit{Klasse} \(C^\prime\), wenn die abgeschlossene Hülle \(\bar{\mathfrak G} \) von \(\mathfrak G \) überdeckbar ist mit endlich vielen, in \(\bar{\mathfrak G}\) offenen Mengen \(\mathfrak U_\tau\), \(\tau = 1,\dots, t\), deren jede vermöge einer regulären Transformation der Klasse \(K\) bzw. \(C^\prime\) Bild entweder des offenen Einheitswürfels \(W_n = ( |y_\nu | < 1,\) \(\nu = 1,\dots, n)\) oder des Durchschnittes \(W^\prime_n\) von \(W_n\) mit \(y_n \leqq 0\) ist; im letzten Fall sollen die in \(\mathfrak U_\tau\) enthaltenen Punkte des \textit{Randes} \(\mathfrak G^*\) von \(\bar{\mathfrak G}\) Bilder der auf \(y_n = 0\) gelegenen Punkte von \(W^\prime_n\) sein. Auf \(\mathfrak G^* \) wird dann im Falle eines Gebietes \(\mathfrak G \) der Klasse \(K\) vermöge der (lokalen) Abbildung auf \(W^\prime_n\) in bekannter Weise ein System meßbarer Mengen \(e\) und zu diesem ein Maß \(m(e)\) definiert, so daß unter anderem in \(\mathfrak G^* \) Funktionenklassen \(L_\alpha\) usw. erklärbar sind (\(f(z)\) gehört zu \(L_\alpha\) mit \(\alpha > 1\), wenn \(|f |^\alpha\) summierbar ist). Es wird unter anderem gezeigt: Ist \(f(x) \in \mathfrak P_\alpha \) auf dem Gebiete \(\mathfrak G \) der Klasse \(K\), so existiert eine Folge von Funktionen \(f_\mu (x)\) deren jede einer gleichmäßigen Lipschitzbedingung in \(\bar{\mathfrak G}\) genügt, und welche für \(\mu \to +\infty\) in \(\mathfrak P_\alpha \) stark (d. h. im Mittel von der Ordnung \(\alpha\)) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) konvergieren und auf \(\mathfrak G^* \) gegen eine Funktion \(\varphi (x) \in L_\alpha\); bei regulären Transformationen \(x= x(y)\) (der Klasse \(K\)) transformiert sich \(\varphi (x)\) in die zu den Transformierten \(F(y) = f (x(y))\), \(F_\mu (y) = f_\mu (x(y))\) bezüglich des Bildes von \(\mathfrak G\) usw. gehörige Funktion \(\varPhi (y)\); ist \(\varphi (x) = 0\) fast überall auf \(\mathfrak G^*\), so kann \(f_\mu (x)\) derart gewählt werden, daß \(f_\mu (x)\) in einer Umgebung von \(\mathfrak G^*\) sowie in \(\mathfrak G^*\) selbst verschwindet. Man sagt: Es \textit{nimmt} \( f (x)\) \textit{in \(\mathfrak G^*\) bezüglich \(\mathfrak G\) die Randwerte \(\varphi (x)\) an} (vgl. dazu \textit{Courant-Hilbert}, Methoden der mathematischen Physik II (1937; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 449), Kap. VII, \S\, 1). Von Sätzen bezüglich der Randwerte sei nur erwähnt: Es sei \(f(x) \in \mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\); ferner sei \(\mathfrak H\) ein Teilgebiet der Klasse \(K\) von \(\mathfrak G\) mit \(\bar{\mathfrak H} \subset \mathfrak G\) und \(u (x) \in \mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak H\) mit \(D_\alpha (u, \mathfrak H) < + \infty\); besitzen dann \(f(x)\) und \(u(x)\) die gleichen Randwerte in \(\mathfrak H^*\) bezüglich \(\mathfrak H\), und ist \(w(x) = u (x)\) für \(x \in \mathfrak H\), \(w(x) = f (x)\) für \(x \in \mathfrak G - \mathfrak H\), so ist \(w(x) \in \mathfrak P_\alpha \) auf \(\mathfrak G\). III. Es folgen Sätze über schwache Konvergenz und Kompaktheit im Banach-Raum \(\mathfrak P_\alpha \) (vgl. Referat Calkin). Das allgemeinste lineare Funktional über \(\mathfrak P_\alpha \) bei beschränktem Gebiet \(\mathfrak G\) ist darstellbar in der Form \[ \psi (f) = \int\limits_{\mathfrak G} \left[A(x) f(x) + \sum_{\nu=1}^n A_\nu (x) D_{x_\nu} (f) \right]\, dx, \] wo \(A (x)\) und \(A_\nu (x)\) für \(\alpha = 1\) zur Klasse \(\mathfrak M\) gehören (d. h. meßbar und im wesentlichen beschränkt sind) bzw. für \(\alpha > 1\) zur Klasse \(L_\beta\) mit \(\beta^{-1} + \alpha^{-1} = 1\). Notwendig und hinreichend für schwache Konvergenz der \(f_\mu (x)\) gegen \(f(x)\) in \(\mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) für \(\mu \to +\infty\) ist, daß \(f_\mu (x) \in \mathfrak P_\alpha\), \(f (x) \in \mathfrak P_\alpha\) und daß \(f_\mu (x)\) bzw. \(D_{x_\nu} (f_\mu)\) schwach in \(L_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) bzw. gegen \(D_{x_\nu}(f)\) konvergieren, \(\nu = 1, \dots, n\). Ferner werden Ungleichungen bezüglich schwacher Konvergenz angegeben; Beispiel: \[ \int\limits_{\mathfrak G} |f(x)|^\alpha dx \leqq \underset {\mu \to \infty } {\underline{\text{Lim}}} \int\limits_{\mathfrak G} |f_\mu(x)|^\alpha dx. \] Auch wird die Invarianz der schwachen Konvergenz in \(\mathfrak P_\alpha\) über \(\mathfrak G\) bei regulärer Transformation (der Klasse \(K\)) bewiesen. -- Konvergieren die \(f_\mu (x)\) schwach in \(\mathfrak P_\alpha\) auf \(\mathfrak G\) gegen \(f (x)\) bei beschränktem \(\mathfrak G\), so konvergieren die \(f_\mu (x)\) stark gegen \(f(x)\) in \(L_\alpha\) auf jedem abgeschlossenen, in \(\mathfrak G\) enthaltenen \([a, b]\). Ist \(\mathfrak G\) von der Klasse \(K\), so konvergieren die \(f_\mu(x)\) auf \(\mathfrak G\) bzw. deren Randwerte \(\varphi_\mu (x)\) auf \(\mathfrak G^*\) bezüglich \(\mathfrak G\) stark in \(L_\alpha\) gegen \(f (x)\) bzw. gegen die Randwerte \(\varphi (x)\) von \(f (x)\). Den Schluß dieses Abschnittes bilden Kompaktheitssätze. Für \(\alpha > 1\) ist eine Menge von Funktionen \(f (x) \in \mathfrak P_\alpha\) kompakt (bezüglich der schwachen Konvergenz in \(\mathfrak P_\alpha\)) dann und nur dann, wenn die \(f (x)\) gleichmäßig beschränkt sind in \(\mathfrak P_\alpha\). Verschiedene hinreichende Bedingungen für gleichmäßige Beschränktheit in \(\mathfrak P_\alpha\) werden angegeben. Für den Fall \(\alpha = 1\) lautet ein Kompaktheitskriterium (bei beschränktem \(\mathfrak G\)): nicht nur ist \(\bar{D}_1 (f;\mathfrak G)\) gleichmäßig beschränkt, sondern es existiert auch eine nicht negative konvexe Funktion \(g(r_1, \dots, r_n)\) mit \[ \lim\limits_{|r| \to + \infty} | r|^{-1} g(r_1, \dots, r_n) = + \infty \quad \text{für} \quad |r|^2 = \sum_{\nu = 1}^n r_\nu^2 \] und mit gleichmäßig beschränkten \[ \int\limits_{\mathfrak G} g \left( D_{x_1}(f), \dots, D_{x_n}(f)\right)\, dx. \] IV. Schließlich wird das Randverhalten der Funktionen aus \(\mathfrak P_\alpha\) bei allgemeinen beschränkten Gebieten \(\mathfrak G\) untersucht. Unter anderem wird eine notwendige und hinreichende Bedingung angegeben dafür, daß \(f (x)\) auf \(\mathfrak G^*\) ``verschwindet''. Diese Bedingung ist invariant gegenüber regulärer Transformation (der Klasse \(K\)).