On an inequality connecting the integrals of a power of a function and another power of its derivative (Q2589619)

Beweis der folgenden Ungleichungen: \[ \left\{ \frac 1l \int\limits_0^l |\xi|^a \, dt \right\}^{\tfrac 1a} \leqq \frac 14 H\left( \frac 1a, \frac {b-1}b \right) \left\{ l^{b-1} \int\limits_0^l \left| \frac {d\xi}{dt} \right|^b \, dt \right\}^{\tfrac 1b}, \tag{1} \] \[ \frac 1l \int\limits_0^l \log\, |\xi| \, dt \leqq \log \left[ \frac 1{4G \left( \dfrac {b-1}b\right)} \left\{ l^{b-1} \int\limits_0^l \left| \frac {d\xi}{dt} \right|^b \, dt \right\}^{\tfrac 1b} \right]. \tag{2} \] Hier ist \(a > 0\), \(b\geqq 1\), \(\xi (t)\) eine in \(0 \leqq t \leqq l\) totalstetige Funktion mit \(\xi (0) = \xi (l)\), Max \(\xi +\) Min \(\xi = 0\), während mit \(H\) bzw. \(G\) die folgenden Funktionen bezeichnet sind: \[ G(u) = e^uu^{-u} \varGamma (1+u), \quad G(0) = 1; \quad H(u,v) = \frac {G(u+v)}{G(u)G(v)}. \] (2) entsteht aus (1) durch den Grenzübergang \(a \to 0\). Weiter ergibt sich für jede in \(0\leqq t \leqq s\) totalstetige Funktion \(y (t)\) mit \(y(s) = y(0)\), die in \([0, s]\) mindestens einmal verschwindet: \[ \left\{ \frac 1s \int\limits_0^s |y|^a \, dt \right\}^{\tfrac 1a} \leqq \frac 12 H\left( \frac 1a, \frac {b-1}b \right) \left\{ s^{b-1} \int\limits_0^s \left| \frac {dy}{dt} \right|^b \, dt \right\}^{\tfrac 1b}, \] \[ \frac 1s \int\limits_0^s \log\, |y| \, dt \leqq \log \left[ \frac 1{2G \left( \dfrac {b-1}b\right)} \left\{ s^{b-1} \int\limits_0^s \left| \frac {dy}{dt} \right|^b \, dt \right\}^{\tfrac 1b} \right]. \] Eine Ungleichung von Hardy-Littlewood sowie eine Verschärfung einer bekannten Wirtingerschen Ungleichung ergeben sich als Sonderfälle. Es wird genau angegeben, für welche Funktionen die Ungleichungen in Gleichungen übergehen.