Note on the expansion of the Jacobian elliptic functions in powers of \(k^2\) and \(1- k^2\). (Q2589627)

Mit Hilfe der Formel \[ \text{sn}^{-1} (\sin\, \varphi) = \int\limits_0^\varphi \frac {d\xi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \xi}}, \] wobei \(0\leqq \varphi \leqq \dfrac \pi{2}\) ist, entwickelt Verf. die Jacobischen Funktionen sn\((\varphi, k)\), cn\((\varphi, k)\), dn\((\varphi, k)\), \( E (\varphi, k)\) nach Potenzen von \(k^2\) und \(1 - k^2\). Für kleines \(k\) treten in den Entwicklungen die Funktionen sin und cos auf; wenn \(k\) nahe bei 1 liegt, erscheinen der hyperbolische Sinus, Cosinus, Tangens und Secans. Bei kleinem \(\varphi\) konvergieren die Reihen genügend rasch.